推定量 (統計) – 定義

導入

推論統計では、推定量はサンプルに基づいて計算された値であり、母集団全体に基づいて計算された値の適切な評価となることが期待されます。私たちは、バイアスがなく、収束し、効率的で堅牢な推定器を求めています。

推定器の例

10 歳児の平均身長を評価したい場合は、10 歳児の母集団のサンプルに対して調査を実行できます (たとえば、複数の異なる環境にまたがる学校に連絡することによって)。このサンプルで計算された平均身長は経験的平均と呼ばれ、10 歳児の平均身長の推定値となります。

特定の国の休耕地が占める総面積を評価したい場合、同じサイズの領土のいくつかの部分について調査を実行し、休耕地が占める平均面積を計算し、比例則を適用することができます。

候補者 A に投票することを決めた有権者の割合を決定したい場合は、代表的なサンプルに対して世論調査を実行できます。サンプル内の A を支持する投票の割合は、総母集団の中で A に投票することを決定した有権者の割合の推定値です。

湖の魚の総個体数を評価しようとしている場合、まずn匹の魚を集め、後で識別できるようにバンドを付け、放し、他の魚と混ぜます。次に、湖から魚のサンプルを採取し、環のある魚の割合p を計算します。 n / p値は、湖内の魚の総個体数の推定値です。サンプルに縞模様の魚がない場合は、別の抽選が行われます。

多くの場合、推定値は平均、総母集団、割合、または分散です。

推定者の品質

推定値は値です

無作為に抽出されたサンプルに基づいて計算された値したがって、 は期待値を伴う確率変数ですそして差異 。すると、 x の値がサンプルに応じて変動する可能性があることがわかります。それが表すはずの値θと正確に一致する可能性は非常に低いです。したがって、目的は、 x値を x 値として取得することによって生じる誤差を制御することです。

バイアス

確率変数はその期待値を中心に変動します。したがって、私たちは、次のような希望が得られることを願っています。

がθに等しいか、「平均」において推定量が間違っていないことを意味します。

見積もり担当者の期待が満たされたとき

θに等しい、つまりバイアスが0に等しい場合、推定器はバイアスされていないと言われます。

10 歳児の平均身長に関して以前に選択された推定量は不偏推定量ですが、魚の推定量には偏りがあり、魚の推定数は平均して実際の魚の数よりも大きくなります。

平均二乗誤差

平均二乗誤差は、真の値とその推定値の間の誤差の二乗の期待値です。

収束

また、サンプルのサイズを大きくすることで、取得時に生じる誤差を削減できるようにしたいと考えています。

θの代わりに。この場合、推定量は収束している、つまり真の値に向かって収束していると言えます。数学における正確な定義は次のとおりです。

これは、サンプルサイズが大きくなると推定値からε以上離れる確率が0に近づく傾向があると解釈します。

この定義は逆に書かれることもあります。

最後に、より強力なタイプの収束であるほぼ確実な収束があり、推定量について次のように定義されます。

例:経験的平均は、確率変数の期待値の収束推定量です。 「弱い」バージョンの大数の法則は、平均値が期待値に確率的に収束することを保証し、強い大数の法則はほぼ確実に収束します。

収束率

効率

確率変数はその期待値を中心に変動します。プラス偏差

値が低いほど、変動の重要性は低くなります。したがって、差異が可能な限り小さくなるように努めます。これを推定器の効率と呼びます。

堅牢性

調査中に、極端で珍しい値が表示されることがあります (たとえば、10 歳の子供の身長が 1.80 メートル)。このタイプの値は、推定器の値をほんのわずかに変更するだけであることが必要です。この場合、推定器は堅牢であると言えます。

例:子の例に戻ると、非常に大きな子を追加すると推定量の値が大幅に変更されるため、平均はロバストな推定量ではありません。一方、中央値はこのような場合には変更されません。