導入
統計物理学におけるグランドカノニカルアンサンブルは、各システムが外部のエネルギーと粒子の貯蔵庫と平衡状態にある統計的アンサンブルです。これは、系がエネルギーと粒子を貯留層と交換できることを意味します。言い換えれば、エネルギーと粒子の数は、全体としてある系から別の系へと変動します。
このセットは、粒子の数を固定できない場合、特にボーソンとフェルミ粒子で構成される系に使用されます。
導入
このセットでは、系が同一の粒子で構成されていると考え、粒子数の変動を考慮するために化学ポテンシャルを導入します。エネルギーと粒子の交換がリザーバーの温度、ひいてはシステムの温度に影響を及ぼさないように、リザーバーはシステムの前で大きく考慮する必要があります。タンクはサーモスタットのように動作し、その温度をシステムに適用する必要があります。
システムのハミルトニアンは次のように定義されると考えます。
- $$ {\hat H = \sum_{i=1}^{N} \hat h(i) } $$
または
$$ {\hat h(i) |i\rangle = E_i |i\rangle } $$
は各粒子 i のシュレーディンガー方程式です。各顕微鏡セットごとに
$$ {|n\rangle } $$
、エネルギーと関連する粒子の数が得られます。 - $$ { E \left(|n\rangle\right) = \sum_i E_i n_i } $$
- $$ { N \left(|n\rangle\right) = \sum_i n_i } $$
考慮されている系がボソンで構成されているかフェルミオンで構成されているかに応じて、 niは次の条件に従います。
- $$ {n_i =\begin{cases} 0,…,\infty & \text{pour les bosons } \\ 0,1 & \text{pour les fermions} \end{cases}} $$
顕微鏡で観察できるもの
パーティション機能
パーティション関数は次のように定義されます。
- $$ { \Xi = \sum_{\{|n_i\rangle\} } e^{ -\beta \big[ E \left(|n\rangle\right) – \mu N\left(|n\rangle\right)\big] } = \sum_{ \{ |n_i \rangle \} } e^{ -\beta \sum_i \left(E_i – \mu \right)n_i }} $$
または
$$ {{\{|n_i\rangle\} }} $$
すべての顕微鏡セットの統計セットを表します$$ {|n\rangle } $$
。 Ξ は次のように書くことができます。
- $$ {\Xi = \big( \sum_{n_1} e^{ -\beta \left(E_1 – \mu \right)n_1 } \Big) \big( \sum_{n_2} e^{ -\beta \left(E_2 – \mu \right)n_2 } \Big)… = \prod_i \Xi_i} $$
と
$$ {\Xi_i = \big( \sum_{n_i} e^{ -\beta \left(E_i – \mu \right)n_i } \Big)} $$
、単一モードのパーティション関数を表します。
微小状態の確率
システムがミクロ状態 i にある確率は次のように定義されます。
- $$ {p_i = \frac{e^ { -\beta \left(E_i – \mu \right)n_i }} {\Xi}} $$
または
$$ { \sum_{i} p_i \ = \ 1} $$
