E8 (数学) – 定義

導入

数学では、

は例外的なタイプの最大の複素リー群です。そのリー代数は次のように表されます。 。

E はランク8、次元248 です。これは単純に接続されており、その中心は自明です。

E 構造は 1887 年にノルウェーの数学者ソフス リーによって対称性を研究するために発見されましたが、これまで誰もこの数学的対象が理解できるとは考えていなかった、と 18 人の数学者と数学者が集まるアトラス オブ リー群と表現チームの責任者ジェフリー アダムスは考えています。 Fokko du Cloux やMarc van Leeuwenなど、世界中のプログラマーが参加しています。

実体

複素次元 248 (したがって実次元 496) の複素リー群E に加えて、この群には 3 つの実数形があり、すべて実数 248 です。最も単純なものはコンパクト形です。

そして配備されました （非コンパクト最大値または英語では分割さえあります）そして3番目があります。 。

ジオメトリ

E のコンパクトな実形式は、オクトオクトニオン射影平面と呼ばれる次元 128 のリーマン多様体の等長群として見ることができます。この名前は、八元数とそれ自体のテンソル積として構築される代数を使用して構築できるという事実に由来しています。このタイプの構造は、ハンス フロイデンタールとジャック ティッツによって、魔方陣の構造において詳細に分析されています。

建物

群 E のコンパクトな形式をリー代数の自己同型群として構築できる

対応しています。この代数は、 次元 120 の部分代数として、これを使用して随伴表現を次のように分解できます。

$$ {\mathfrak{e}_8 = \mathfrak{so}(16) \oplus \textstyle{S}_{16}^+} $$

または

群のマヨラナ・ワイル型の 2 つのスピノル表現のうちの 1 つうちリー代数です。

電話したら

ジェネレーターのセットそしての 128 個のコンポーネントそうすれば、定義する関係を明示的に書くことができます。 として

$$ {\left[J_{ij}, J_{k\ell}\right] = \delta_{jk}J_{i\ell} – \delta_{j\ell}J_{ik} – \delta_{ik}J_{j\ell} + \delta_{i\ell}J_{jk}\,} $$

同様に

$$ {\left[J_{ij}, Q_a\right] = \frac14 \left(\gamma_i\gamma_j – \gamma_j\gamma_i\right)_{ab}Q_b\,} $$

、

それは自然な作用に対応します

スピノルで 。残りの整流子 (実際には整流子であり、反整流子ではありません) は、スピノルのコンポーネント間で次のように定義されます。

$$ {\left[Q_a, Q_b\right] = \gamma^{[i}_{ac}\gamma^{j]}_{cb}J_{ij}\,} $$

。

これらの定義から、ヤコビ恒等式が満たされていることを確認できます。

代数

ディンキン図

ルートシステム

シンプルな根で形成されたベースに

、一方で E の根系は、のすべての順列で形成されます。

$$ {\left(\pm 1, \pm 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0\right)\,} $$

のルートシステムを構成するもの

そして持っています要素 ( の次元である 120 を取得するには、Cartan の 8 つのジェネレーターを追加する必要があります)。

さらに、これに脊椎表現の 128 の重みを追加する必要があります。

の 。同じ基底にあるこれらはベクトルで表されます。

$$ {\left(\pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12\right)\,} $$

すべての座標の合計が偶数になるようにします。番号が付けられています

。

したがって、次のようになります。

ルート、多重度 1 のすべて。言葉の乱用により、ゼロ ベクトルをカルタン部分代数に関連付けられたルートとみなすこともあります。 E がランク 8 であるため、ゼロルートの多重度は 8 になります。したがって、最終的に、代数の 248 個の生成器を十分に説明できました。 。

カルタン行列

$$ { \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} $$

物理学では

素粒子物理学における大統一理論の文脈では、グループ E は、他のよく考慮される大統一グループを自然に含む範囲でゲージグループの候補とみなされることがあります。連続するインクルージョンの下にそれが見えます

$$ {E_8 \leftarrow \operatorname{SO}(10) \leftarrow \operatorname{SU}(5) \leftarrow \operatorname{SU}(3)\times\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{U}(1)\,} $$

さらに、E グループは弦理論や超重力の分野で頻繁に登場します。ヘテロストリング理論では、定式化によって次のことが明らかになります。

(コンパクトな形式で) ゲージ グループとして。さらに、最大超重力が次元 8 のトーラス上でコンパクト化されると、結果として生じる次元 3 の理論は大域対称性 E (つまり、展開された、または最大限非コンパクトな形式) になります。その後、目立たないバージョンが提案されました。 このグループの対称性は、この文脈ではU-双対性と呼ばれる、 M-理論の対称性になります。

2007 年 11 月、アメリカの物理学者アントニー ギャレット リシは、E グループに基づいた力の統一理論に関する大きな話題の論文を科学出版サイトArXivに投稿しました。