導入
位相ベクトル空間の凸部分の特定の場合、接着または内部の基本位相演算子は凸性を維持します。マイナーな技術的留保 (これは、凸面のアフィン包絡線に対する内部または境界である相対内部および相対境界という単純な概念の導入を正当化する) の下で、凸面の接着または内部による置き換えは、形状を大幅に変更しないでください。特に、凸面のエッジは、その代わりに使用された新しい開いたまたは閉じた凸面上で識別可能なままになります。
事前考察: この記事の枠組み
主に、その幾何学的構造と互換性のあるトポロジーを備えたアフィン空間の通常の語彙が存在しないことに関連する理由により、以下の結果は「トポロジカル ベクトル空間」の文脈で述べられています。実際、意味があるのは基礎となる空間のアフィン構造であり、述べられているすべてのことは、「基礎となるベクトル空間に位相ベクトル空間が提供されるアフィン空間」について述べるのは非常に重い仮説の下で同様に有効です。構造’。
特に、書かれていることはすべて、有限次元アフィン空間の枠組みにおいて有効です。一般的なトポロジーには抵抗があるが、計量空間に関する基本的な語彙には精通している読者は、そのようなフレームワークに精神的に限定することで記事を読むことができ、本質的な内容を概観するのに十分です。
空間は常に暗黙的に実数です (複素ベクトル空間の場合、次元に関する特定のアサーションを適応させる必要があります)。
凸面の内部と相対内部
凸部の接着に興味を持ったら、その内部を調べるのは自然なことです。しかし、ここでは不快な非対称性が現れています。凸状のCを接着によって置き換えると、後者の形状に関する情報の重要な部分が保持されます (したがって、少なくとも有限次元では、接着は例外的に周囲空間全体ではありません)。 E 、実際にはC = Eの唯一の縮退ケース）、内部による置換によりすべての情報が消去される可能性があります（内部は空であることがよくあります）。
この障害を回避するには、場合に応じて多かれ少なかれ適応される 2 つの解決策から選択する必要があります。1 つは、アフィン包絡線が周囲空間全体である凸面にステートメントを制限することですが、特定の状況では、これはほとんど不可能です。たとえば、多面体の面を呼び起こしたい場合などに実用的です。もう 1 つは追加の用語を導入することです。
定義— トポロジカル ベクトル空間E内の空でない凸Cの相対内部は、 Cによって生成されたアフィン部分空間に対するCの内部です。
接着に関しては、次のようなものがあります。
命題—位相ベクトル空間では、凸の内部および相対内部は凸です。
相対内部の定義が与えられると、通常の位相内部の主張を検証するだけで十分です。相対内部はその現れにすぎません。
簡略化されたバージョン、標準化されたベクトル空間のフレームワークで有効
C を凸として表し、 xとy を次の 2 点とします。
ここでz をセグメント[ x , y ]の点としましょう。したがって、 [0,1]の特定のλに対してz = λ x + (1 − λ) yの形式で書くことができます。 z = yが自明に扱われる場合、次のように仮定できます。
次に、開いたボールB ( z ,λε)がCに含まれていることを簡単に検証します (詳細が必要な場合は、このボールの点をベクトルuに対してz + uと書くことができます)
したがって、点z はCの内部にあります。
一般的なケース変更することはほとんどありません。ε > 0を導入する代わりに、 Uで示される0の近傍を導入し、 x + U がB ( x ,ε)を置き換えます。 zの周囲では、前のバージョンでB ( z ,λε)が果たした役割を果たすのは、近傍z + λ Uになります。
少なくとも有限次元では、内部とは異なり、空ではない凸面の相対的な内部は決して空ではありません。
命題—有限次元では、空でない凸面Cの相対内部は空ではなく、 Cと同じ次元を持ちます。
Cの次元をd で表し、 Cによって生成された次元dのアフィン部分空間をFで表します。
このとき、 Fのアフィン参照系を構成するCの点のd + 1タプルが存在します。このアフィンフレーム内のすべての重心座標が厳密に正である点のセットが証明の鍵となります。これは明らかに空ではなく、そのすべての点がCの相対内部にあり、洗練を生成するのに十分な数であることを簡単に検証できます。 F ;したがって、 Cの相対内部によって生成されるアフィン部分空間は、 Cによって生成されるアフィン部分空間と少なくとも同じ大きさであるため、次元は等しくなります。
このセクションの要約として、 C が有限次元の実アフィン空間Eの空でない凸面を指定することで、簡単な評価を行うことができます。次の代替案があります。
- それとも$$ {\mathrm{dim}\,C=\mathrm{dim}\,E} $$、内部格と相対内部が同じ凸面であり、洗練Eが生成されます。
- それとも$$ {\mathrm{dim}\,C<\mathrm{dim}\,E} $$この場合、通常の内部は空ですが、相対内部は空ではない凸面であり、 Cと同じアフィン部分空間を正確に生成します。
