導入
ルベーグ可測集合(しばしば可測と省略される) は空間の一部です
$$ {\R^n} $$
そのルベーグ測度は定義でき、この概念は任意の微分可能な多様体Mに拡張できます。ルベーグ族をMのルベーグ可測部分の集合と呼びます。
意味
ルベーグ測度の記事で説明されているように、この測度は
$$ {\R^n} $$
の部分のσ代数で定義される$$ {\R^n} $$
、ボレリア族によって補足されました。この部族はルベーグ族と呼ばれ、それを構成する集合はルベーグで測定可能な部分です。 $$ {\R^n} $$
。ルベーグ族の枢機卿
提案—ルベーグ族の枢機卿
$$ {\R^n} $$
のすべての部分のことです$$ {\R} $$
。証拠：
のために
$$ {n\geq2} $$
簡単です：全体$$ {\R^{n-1}\times\{0\}} $$
のボレルです$$ {\R^n} $$
ゼロ測定の。したがって、そのすべての部分は無視できるため、ルベーグ測定可能です。n = 1の場合は、もう少し分かりにくい例を探す必要があります。カントールの三進集合が答えを提供します。それはコンパクトな集合であり、したがってボレリアンであり、ゼロ小節でありながら、
$$ {\R} $$
。したがって、その部分はルベーグ可測であり、その全体の基数は次のようになります。 $$ {2^\mathfrak c} $$
、 または$$ {\mathfrak c} $$
～の枢機卿を指名する$$ {\R} $$
（「継続の力」）。QED
n 次元空間における測定可能なものの特性評価
ボレル族完成という観点から
測定可能な部分は、
$$ {\R^n} $$
部分 A は次の形式で記述できます。 $$ {A=B\cup N} $$
、 BボレリアンとNは無視できます (ボレル・ルベーグ測度の場合)。次の変形例が役立つ場合があります。 A は、次の形式で記述できる場合にのみ測定可能です。
$$ {A=B\,\Delta\, N} $$
、 B はボレリアン、 N は無視できます ( Δ は対称的な差を表します)。外部測定の観点から
このセクションでは、次の点に注意します。
$$ {\mathcal{S}} $$
「舗装」の集合、つまり有界区間のデカルト積、つまり形式の集合$$ {E=I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n} $$
、ここで、 I i は間隔を指定します。 $$ {\R} $$
クローズ、オープン、またはセミオープンのいずれかであることに注意してください。 $$ {\mathrm{Vol}\,(E)} $$
そのようなブロックの体積（辺の長さの積という意味で）。のために
$$ {A\subset \R^n} $$
、外部測定$$ {\lambda_n^*} $$
Aの は次のように定義されます。 $$ {\lambda_n^*(A)=\mathrm{inf}\{\sum_{k=1}^{+\infty}\mathrm{Vol}\,(E_k)\,\mid\,E_k\in\mathcal{S},\,A\subset\bigcup_{k=1}^{+\infty}E_k\}.} $$
定理—しましょう
$$ {A\subset \R^n} $$
。集合A は、次の場合にのみルベーグ可測です。$$ {X\subset \R^n} $$
、 $$ {\lambda_n^*(X\cap A)+\lambda_n^*(X\setminus A)=\lambda_n^*(X)} $$
。この特徴付けはカラテオドリによるもので、ルベーグによる元の特徴付けは次のとおりです。
定理—しましょう
$$ {A\subset \R^n} $$
有界であり、 E はA を含むブロックです。集合A は、次の場合にのみルベーグ可測です。 $$ {\lambda_n^*(A)+\lambda_n^*(E\setminus A)=\mathrm{Vol}\,(E)} $$
。本物であることが簡単に分かります
$$ {\displaystyle\lambda_{n*}(A)} $$
によって定義される$$ {\lambda_{n*}(A)=\mathrm{Vol}\,(E)-\lambda_n^*(E\setminus A)} $$
A をボックス化するために使用されるタイルとは独立しています。これを実際のAの「内部メジャー」と呼びます。この語彙規則を使用すると、前の結果は次のように表現されます。有界可測集合は、内部測定値と外部測定値が一致する有界集合です。無制限のセットの場合は、空間を埋める一連のブロックを含む、前述のステートメントと同様のステートメントを作成できます。
前のステートメントの一般化— Let
$$ {A\subset \R^n} $$
、 そして$$ {(E_i)_{i\geq0}} $$
出会いがある一連の敷石$$ {\R^n} $$
。集合A は、次の場合にのみルベーグ可測です。$$ {i\geq0,\quad\lambda_n^*(E_i\cap A)+\lambda_n^*(E_i\setminus A)=\mathrm{Vol}\,(E_i)} $$
。測定不可能な集合
カーディナリティからは、ルベーグ族かどうかを判断することはできません。
$$ {\R^n} $$
のすべての部分の集合に等しいか等しくない$$ {\R^n} $$
: これら 2 つの部分セットのそれぞれは同じ基数を持ちます。 $$ {2^{\mathfrak c}} $$
。私たちは測定不可能な集合の例を知っています。最も単純なものの 1 つは、1905 年に Giuseppe Vitali によって発明された Vitali 集合です。
$$ {\R/\Q} $$
すべて[0,1] の範囲で選択されます。もう 1 つの素晴らしい例は、次の単位ボールのサブセットです。 $$ {\R^3} $$
これはバナッハ・タルスキのパラドックスを引き起こします。これらの例はどちらも選択の公理に訴えます。これは偶然ではありません。 Robert M. Solovay が 1970 年に発表したSolovay モデルの存在は、実際、選択公理のない ZF集合論では、測定不可能な集合の存在を証明することは期待できないことを示しています (さらに、これは公理を仮定しても)依存的な選択です）。
