双子素数予想は素数に関する数論の有名な問題です。
この推測は次のように述べられています。
- p + 2 も素数となるような素数 p は無限に存在します。
このような素数のペアを双子素数ペアと呼びます。
数論の多くの研究者がこの予想を研究してきました。大多数の数学者は、数値観察と素数の確率分布を使用した発見的推論に基づいて、この予想が正しいと信じています。
1849 年、アルフォンス ド ポリニャックは、次のようなより一般的な推測を立てました。
k =1 の場合は双子素数予想に相当します。
部分的な結果
1940 年に、Paul Erd?s は、次のような定数c < 1 と無限の素数pの存在を実証しました。
- p ‘ − p < c ln( p )ここで、 p’ はpの直後の素数を表します。
この結果は数回改善されました。 1986 年に、Maier は定数c < 0.25 が達成できることを示しました。
2003 年、Goldston と Yildirim は、すべてのc > 0 について、 p’ – p < c ln( p ) となる素数p が無限に存在することを証明しました。
1966 年、JR Chen は、 p + 2 が最大 2 つの素因数の積であるような無限の素数p が存在することを実証しました (このような数、最大 2 つの素因数の積は2 -ほぼ-であると言われます)初め）。
彼のアプローチはふるい理論のアプローチであり、双子素数予想とゴールドバッハ予想を同様の方法で扱うために使用されました。
ハーディ・リトルウッド予想
ハーディ・リトルウッド予想として知られる双子素数予想は、 素数定理との類推により、双子素数の分布に関連して一般化されています。 π 2 ( x ) を、 p + 2 も素数となるような素数p ≤ xの数とします。
双子素数の定数C 2 を次のように定義しましょう。
- $$ {C_2 = \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2} \approx 0,6601618158468695739278121100145 …} $$
(ここで、積は素数p ≥ 3 のセットに拡張されます)。
そして、ハーディ・リトルウッド予想は次のように述べられます。
- $$ {\pi_2(x) \sim 2 C_2 \int_2^x {dt \over (\ln t)^2}} $$
(これは、 x が無限大になる傾向がある場合、2 つの式の商は 1 になる傾向があることを意味します)。
この予想は、1/ln( t ) が素数の分布の密度関数であると仮定することによって正当化できます (ただし、証明されていません)。これは、素数定理によって示唆されています。ハーディ-リトルウッド予想の背後にある数値的根拠は非常に印象的です。
参照: 双子素数、ブルン定数、ダブナー予想