導入
代数学において、有理分数の部分分数または単純な要素への分解は、分母として既約多項式の累乗を持ち、分子として分母の既約多項式よりも低い次数の多項式をもつ分数の和として表現されます。この分解は、関連する有理関数のプリミティブの検索を容易にするために積分計算で使用されます。逆ラプラス変換の計算にも使用されます。
どの多項式が既約であるかは、使用されるスカラー場によって決まります。したがって、実数に限定すると、既約多項式の次数は 1 または 2 になります。複素数を使用する場合は、1 次の多項式のみが既約になります。同様に、有理数に限定すると、2 より大きい次数の既約多項式を見つけることができます。
設定
P と Q を 2 つの多項式とし、有理分数を分解したいとします。
以下では、可能な限り単純化された有理分数 (「既約分数」と呼ばれる)、つまりPとQ が互いに素であり、 Q の次数が 1 以上である分数に焦点を当てます。 Kによる可換体 (一般に
最初のステップは、分子の次数が分母の次数より小さくなるように分数を減らすことです。これを行うには、 PをQでユークリッド除算します。次のような多項式TとRの一意のペアが常に存在することがわかっています。
実数内の単純な要素への分解
一般原則
実係数を持つ既約多項式は 1 次または 2 次です。
定理—しましょう
- $$ { Q =(x – z_1)^{n_1} (x – z_2)^{n_2} … (x – z_p)^{n_p} (x^2- \beta_1 x + \gamma_1)^{m_1}(x^2- \beta_2 x + \gamma_2)^{m_2}…(x^2- \beta_{q} x + \gamma_{q})^{m_q}} $$
ここで多項式は
- $$ { F = \begin{array}[t]{l} T+ \frac{a_{11}}{(x-z_1)}+ \frac{a_{12}}{(x-z_1)^2}+…+\frac{a_{1n_1}}{(x-z_1)^{n_1}}\\ + \cdots\\ + \frac{a_{p1}}{(x-z_p)}+ \frac{a_{p2}}{(x-z_p)^2}+…+\frac{a_{pn_p}}{(x-z_p)^{n_p}}\\ + \frac{b_{11}x+c_{11}}{(x^2 – \beta_1 x + \gamma_1)}+ \frac{b_{12}x+c_{12}}{(x^2 – \beta_1 x + \gamma_1)^2} +…+ \frac{b_{1m_1}x+c_{1m_1}}{(x^2- \beta_1 x + \gamma_1)^{m_1}}\\ +…\\ + \frac{b_{q1}x+c_{q1}}{(x^2 – \beta_q x + \gamma_q)}+ \frac{b_{q2}x+c_{q2}}{(x^2 – \beta_q x + \gamma_q)^2} +…+ \frac{b_{qm_q}x+c_{qm_q}}{(x^2- \beta_q x + \gamma_q)^{m_q}} \end{array} } $$
ここで、 a i j 、 b g l 、 c g lは実数で、多項式 T は F の整数部分です。
分解の例
Q が 1 次因子の積である場合の分解方法は、前のセクションで検討しました。残っているのは、Q に 2 次の既約因数が 1 つ以上含まれる例を扱うことだけです。
2次の既約因子の存在
壊れるには
- $$ {{10x^2+12x+20 \over x^3-8}} $$
単純な要素で、まず観察しましょう
- $$ {x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).\,} $$
x 2 + 2 x + 4 が実係数を使用して因数分解できないという事実は、判別式2 2 − 4(1)(4) が負であることからわかります。したがって、次のようなスカラーa 、 b 、 cを探します。
- $$ {{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={a \over x-2}+{bx+c\over x^2+2x+4}.} $$
さまざまな段階は次のとおりです。
- ( x − 2)を掛けると、次のようになります。
どちらか ：
- x=2 を設定すると、次のようになります。
または: 7 = a 。
- x=0 を設定し、それをa =7 にすると、次のようになります。
または: c = 4。
- x=1 を設定し、 a =7 およびc =4 を使用すると、次のようになります。
b =3 とする
- 単純な要素への分解は次のようになります。
- $$ {{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}.} $$
複合施設の通過
別の方法は、次のように分解します。
したがって、P=1 およびQ = x 3 + 1の場合:
- $$ {\frac{1}{x^3+1}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-e^{\frac{i\pi}{3}}}+\frac{c}{x-e^{\frac{-i\pi}{3}}}=\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}} $$
− 1以降、
- 見つけるには:
- $$ {a+\frac{(x+1)b}{x-e^{\frac{i\pi}{3}}}+\frac{(x+1)c}{x-e^{\frac{-i\pi}{3}}}=\frac{x+1}{x^3+1}=\frac 1{(x-e^{\frac{i\pi}{3}})(x-e^{\frac{-i\pi}{3}})}=\frac{1}{x^2-x+1}} $$
したがって、 x = − 1の場合、次のようになります。
- $$ {a=\frac{1}{3}} $$
- 同じ方法で、 bを求めます。
- $$ {b=\frac{1}{(1+e^{\frac{i\pi}{3}})(e^{\frac{i\pi}{3}}-e^{\frac{-i\pi}{3}})}=\frac{1}{\sqrt{3}e^{\frac{i\pi}{6}}\times i\sqrt{3}}=\frac 13 e^{\frac{-2i\pi}{3}}} $$
- 係数c はbの共役です。 bとc は実係数を持つ多項式の共役極のペアに対応する値であるため、これは偶然ではありません。
- $$ {c=\frac 13 e^{\frac{2i\pi}{3}}} $$
したがって
- $$ {\frac 1{x^3+1}=\frac 1{3(x+1)}+\frac 13\frac{ e^{\frac{-2i\pi}{3}}}{x-e^{\frac{i\pi}{3}}}+\frac13\frac{e^{\frac{2i\pi}{3}}}{x-e^{\frac{-i\pi}{3}}}} $$
実数のみに遭遇する式を操作したい場合は、最後の 2 つの項を組み合わせることができます。これは一般的な性質です。Q のさまざまな根に従う分解では、2 つの共役単純極に関連付けられた 2 つの複素単純要素の合計により、対応する実数単純要素が得られます。
- 次に、最後の 2 つの項を追加します。
- $$ {\frac{ e^{\frac{-2i\pi}{3}}}{x-e^{\frac{i\pi}{3}}}+ \frac{e^{\frac{2i\pi}{3}}}{x-e^{\frac{-i\pi}{3}}} = \frac{2-x}{x^2-x+1}} $$
- したがって、次のようになります。
- $$ {\frac{1}{x^3+1}=\frac{1}{3(x+1)}+ \frac{2-x}{3(x^2-x+1)}} $$
2次既約因数の繰り返し
- $$ {F={25 \over (x+2)(x^2+1)^2 }} $$
分母に 2 次の既約因数x 2 + 1 を使用すると、部分分数への分解は次の形式になります。
- $$ {F={a\over x+2}+{bx + c\over x^2+1}+{dx+e \over (x^2+1)^2}} $$
aの決定は、 x + 2を乗算し、 x = -2 をとることによって行われます。 a = 1 が得られます。その後、次のように書くことができます。
- $$ {{bx+c\over x^2+1}+{dx+e \over (x^2+1)^2}=F-\frac{a}{x+2} = {25 \over (x+2)(x^2+1)^2} – \frac{1}{x+2} = \cdots = \dfrac{-x^3+2x^2-6x+12}{(x^2+1)^2}} $$
分子の− x 3 + 2 x 2をx 2 ( − x + 2) = ( x 2 + 1 − 1)( − x + 2) = ( x 2 + 1)( − x + 2に置き換えると、 ) + x − 2 、この分数は次のようになります。
- $$ {\dfrac{(x^2+1)(-x+2)-5x+10}{(x^2+1)^2}=\frac{-x+2}{x^2+1}+\frac{-5x+10}{(x^2+1)^2} } $$
したがって、最終的な分解は次のようになります。
- $$ {{25 \over (x+2)(x^2+1)^2} = \frac{1}{x+2} + \frac{-x+2}{x^2+1}+\frac{-5x+10}{(x^2+1)^2} \ . } $$