コレスキー因数分解 – 定義

アンドレ・ルイ・コレスキーにちなんで名付けられたコレスキー分解は、正定対称行列 A に対して、A=LL ^Tのような下三角行列 L を決定することから構成されます。

行列 L は、ある意味 A の「平方根」です。この分解により、特に逆行列 A ^-1を計算し、A の行列式 (次の対角要素の積の2 乗に等しい) を計算することが可能になります。 L) または多正規則をシミュレートすることさえできます。

例

対称行列A:

は三角行列L の右側の積に等しい：

とその転置 L ^T。

定理

行列のコレスキー分解：

A が正定対称行列の場合、次のような下三角実行列 L が少なくとも 1 つ存在します。

A= ^LLT

また、行列 L の対角要素がすべて正であり、対応する因数分解が一意であると仮定することもできます。

アルゴリズム

マトリックスを探します。

$$ {L=\begin{bmatrix} l_{11}\\ l_{21} & l_{22}\\ \vdots & \vdots & \ddots\\ l_{n1} & l_{n2} & \cdots & l_{nn} \end{bmatrix}} $$

A=LL ^{T の}等式から、次のことが導き出されます。

$$ {a_{ij}=\left(LL^{T}\right)_{ij}={\sum_{k=1}^{n}l_{ik}l_{jk}}={\sum_{k=1}^{\min\left\{ i,j\right\} }l_{ik}l_{jk}},\;1\leq i,j\leq n} $$

1≤p の場合 l _pq =0 なので

行列 A は対称であるため、上記の関係が i≤j について検証されるだけで十分です。つまり、行列 L の要素 l _{ij が}次を満たさなければなりません。

$$ {a_{ij}={\sum_{k=1}^{i}l_{ik}l_{jk}},\;1\leq i,j\leq n} $$

i=1 の場合、L の最初の列を決定します。

(j=1) a ₁₁ = l ₁₁ l ₁₁ここから

$$ {l_{11}=\sqrt{a_{11}}} $$

(j=2) a ₁₂ = l ₁₁ l ₂₁したがって

$$ {l_{21}=\frac{a_{12}}{l_{11}}} $$

…

(j=n) a _{1 n} = l ₁₁ l _{n 1}したがって

$$ {l_{n1}=\frac{a_{1n}}{l_{11}}} $$

最初の (j-1) 列を計算した後、L の^j番目の列を決定します。

(i=j)

$$ {a_{ii}=l_{i1}l_{i1}+\ldots+l_{ii}l_{ii}} $$

したがって

$$ {l_{ii}=\sqrt{a_{ii}-{\sum_{k=1}^{i-1}l_{ik}^{2}}}} $$

(i=j+1)

$$ {a_{i,i+1}=l_{i1}l_{i+1,1}+\ldots+l_{ii}l_{i+1,i}} $$

したがって

$$ {l_{i+1,i}=\frac{a_{i,i+1}-{\sum_{k=1}^{i-1}l_{ik}l_{i+1,k}}}{l_{ii}}} $$

…

(i=n)

$$ {a_{i,n}=l_{i1}l_{n1}+\ldots+l_{ii}l_{ni}} $$

したがって

$$ {l_{ni}=\frac{a_{in}-{\sum_{k=1}^{i-1}l_{ik}l_{nk}}}{l_{ii}}} $$

前の定理から、すべての量を確実にしながら、すべての要素 l _ii >0 を選択することが可能であることがわかります。

$$ {a_{11},\ldots,a_{ii}-{\sum_{k=1}^{i-1}l_{ik}^{2}},\ldots} $$

ポジティブです。