対称行列について詳しく解説

導入

線形代数および双線形代数では、対称行列はそれ自体の転置と等しい正方行列です。

直感的には、対称行列の係数は主対角線(左上隅から右下隅まで) に関して対称です。したがって、次の行列は対称です。

$$ {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\ 4 & 0 & 10\\ 6 & 10 & 12\end{pmatrix}} $$

すべての対角行列は対称です。

ユークリッド空間では、正規直交基底で内部同型を表す行列は、内部同型が自己共役である場合にのみ対称になります。
有限次元スペクトル定理は、実係数を持つ対称行列は直交行列を使用して対角化できると述べています。したがって、その固有値は実数であり、その固有部分空間は直交します。証明は、記事「自己随伴準同型性」で提案されています。
注: 複素係数を持つ対称行列は対角化できない場合があります。例：

$$ {\begin{pmatrix} 1 & i\\ i & -1\end{pmatrix}} $$

実際、この行列は 0 を唯一の固有値として認めます。対角化可能であれば、ゼロになります。

実際の対称行列の複雑な類似物は、実際には自己共役行列 (対角化可能) です。

$$ {^{\operatorname t}\!X.S.X\ge 0.} $$

$$ {X\ne 0\Rightarrow^{\operatorname t}X.S.X > 0.} $$

双一次形式を表す行列は、後者が対称である場合にのみ対称です。
体内の係数を持つn 次の対称行列のセットは、次数nの正方行列のベクトル空間の次元n ( n +1)/2 のベクトル部分空間であり、場の特性が 2 と異なる場合は、次のようになります。追加の部分空間は、反対称行列の部分空間です。

次数 3 の対称行列は、次から構成される射影平面内の同次座標の円錐を表します。
$$ {\mathbb C^3\, \backslash\, \{(0,0,0)\}} $$
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