導入
粘性流体が狭い場所や小さな物体の周囲をゆっくりと流れる場合、粘性の影響が慣性の影響よりも大きくなります。その流れはストークス流(またはクリーピング流、完全流体とは対照的にストークス流体と呼ばれることもあります) と呼ばれます。実際、これはナビエ・ストークス方程式の簡略化されたバージョン、つまり慣性項が存在しないストークス方程式によって支配されます。レイノルズ数は、ナビエ・ストークス方程式における粘性項と慣性項の相対的な重みを測定します。したがって、ストークス流は、低いレイノルズ数(1 よりもはるかに小さい) に対応します。
ストークス方程式により、特にマイクロ流体デバイス内の液体の流れを記述することが可能になります。クエット流およびポアズイユ流もこの方程式で記述されます。
ストークス方程式
ストークス方程式は、定常状態および低レイノルズ数における非圧縮性ニュートン流体の流れを記述し、次のように記述されます。
または ：
- $$ {\vec{v} (\vec{r})} $$は流体速度です。
- $$ { p (\vec{r})} $$流体内の圧力です。
- ρ は流体の密度です
- η は流体の動粘度です。
- $$ { \vec{f} } $$流体内に作用する質量力です (例: 重力)。
- $$ { \overrightarrow{\mathrm{grad}}} $$とΔ は、それぞれ勾配演算子とラプラシアン微分演算子です。
ストークス方程式の解の性質
ナビエ・ストークス方程式とは異なり、ストークス方程式は線形です (慣性項、非線形は実際には無視できます)。したがって、この方程式の解の流れは非常に特殊な特性を持ちます。
- uniqueness :与えられた境界条件 (壁および/または無限大での速度の値) に対して、ストークス方程式を検証する流れが 1 つだけ存在します。
- 加法性: ストークス方程式の解は重ね合わせの原理を検証します: $$ {\vec{v}_1} $$そして$$ {\vec{v}_2} $$は解、その後は任意の線形結合$$ {\lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2} $$もなります(これは一意性の特性と矛盾しません。良好な境界条件を検証するフローのみが観察されます)。
- 可逆性: 速度場の場合$$ {\vec{v}(\vec{r})} $$が方程式の解である場合、$$ {- \vec{v}(\vec{r})} $$また、圧力勾配の符号、および壁および無限遠での速度を変更すると (これは重ね合わせの原理の直接の結果です)、この特性は、巨視的な流れの経験に基づく私たちの直観に反しています。したがって、低いレイノルズ数での流れの可逆性により、非常に小さな生物が独自の推進手段を開発するようになりました。
- ストークスのパラドックス: ストークス方程式の数学的解は、特定の場合または解領域の特定の領域において、物理的に偽になる可能性があることに注意してください。これは、「ストークス パラドックス」、つまり NS 方程式をストークス方程式に還元できる物理的条件が、必ずしも解領域全体でアプリオリに実現されるわけではないことによるものです。その後、特定の制限内で潜在的に異常な動作を示す解決策に到達します。これは、たとえば「無限遠」の場合であり、多くの場合、慣性項が事前に判断できずに粘性項に勝つことになります。
適用条件
ストークス方程式は、ナビエ・ストークス方程式を簡略化したものです。ニュートン流体の場合、次のように記述されます。
または ：
- $$ {\vec{v} (\vec{r},t)} $$は流体速度です。
- $$ { p (\vec{r},t)} $$流体内の圧力です。
- ρ は流体の密度です
- η は流体の動的せん断粘度です。
- ξ は流体の動的圧縮粘度です。
- $$ { \vec{f} } $$流体内に作用する質量力です (例: 重力)。
- t は時間を表します。
- $$ { \overrightarrow{\mathrm{grad}}} $$、 div 、 Δはそれぞれ勾配、発散、ラプラシアン微分演算子です。
注意: この式を確立するには、 ηとζの空間変動が無視できると仮定する必要があります。
さらに、流体が非圧縮性である場合 (液体に対する適切な近似)、
この方程式の慣性項と粘性項の大きさのオーダーを評価できます。液体の特性速度がUで、速度の変化の典型的なスケールがLである場合 (これは、液体が流れるチャネルの寸法、液体が流れる物体の寸法によって決まる可能性があります)など)、その後:
ここで、 ν は液体の動粘度です。
慣性という用語
ここでレイノルズ数の式が認識されます。
