一緒に – 定義

集合論では、この理論の創始者である数学者ゲオルク・カントールが述べているように、集合はオブジェクトの集合 (集合の要素と呼びます)、つまり「全体として理解できる多数」を直観的に指定します。 einer ‘Menge’ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten M unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‘Elemente’ von M genannt werden) zu einem Ganzen」 。これは、無限集合の可能性に関しては特に革新的でした (そしてカントールの興味があるのは後者です)。

セットの概念において明らかに問題となっているのは、メンバーシップの関係です。つまり、要素はセットに属します。これらは、公理的集合論で公理化するこの関係の特性であり、数学を形式化できる可能性がある理論 (カントールの時代にはまだ明確ではありませんでした) としてこれらの特性を満足できることは、非常に注目に値します。ただし、この記事の目的はむしろ、記事「素朴な集合理論」で説明されているように、集合の概念に対する直観的なアプローチを提供することです。

セット、要素、およびメンバーシップ

セットは、その要素を囲む一種の仮想バッグとして見ることができ、ベン図によって適切にモデル化されます。多くの場合 (これが常に可能であるわけではありませんが)、たとえば全体を表すために「 E 」や「 A 」などの大文字のラテン文字を使用したり、「 x 」または「 n 」は、その要素に対して使用されます。

要素は、数値、幾何学的な点、線、関数、その他の集合など、あらゆる性質のものにすることができます。したがって、数学の世界の外で集合の例を簡単に示します。例:月曜日は一連の曜日の要素です。図書館は本などのコレクションです。

同じオブジェクトが複数のセットの要素になる可能性があります。4 は、整数のセットの要素であるだけでなく、偶数のセット (必ず整数) の要素でもあります。これらの最後の 2 つのセットは、無限であり、無限の要素を持ちます。

例えば​​xで示される要素の、例えばAで示されるセットへのメンバーシップは、 x ∈ Aと書かれます。

このステートメントは次のように読み取れます。

• 「 x はAに属します」、
• 「 x はAの要素です」、
• 「 x はAにあります」、
• 「 A には要素xがあります」、
• 「 A はx を所有しています」、
• または、「 A にxが含まれる」という場合もあります (曖昧さがありますが、後者の場合、 A にx が含まれるということは、 x がAの部分集合であること、つまりxが集合であり、そのすべての要素がAに属していることを意味します。 「 x はAに属します」とは大きく異なります)。

記号「∈」は、1889年にジュゼッペ・ペアノによって導入されたギリシャ文字ε（イプシロン）に由来する^{[ 1 ]} 。 Peano の場合、「 x ε A 」は「 xはA 」と読み取られます。たとえば、「 x ε N 」は「 xは整数です」と読み取られます。 ε は、フランス語またはイタリア語 (「è」) の「est」(ペアノの 1889 年の論文の言語であるラテン語!) の頭文字を指します。バートランド・ラッセルは、1903 年に数学原理^{[ 2 ]}でペアノの表記法を取り上げました。この著作はその普及に貢献するものであり、そこではイプシロンの古びた丸みを帯びた形式^{[ 3 ]}が使用されています。 -サクソンの数学。

関係の場合によくあることですが、この記号を取り消し線で消して、その否定、つまりオブジェクトがセットに属していないことを示します。

「 z ∉ A 」は「 z はAに属さない」という意味です。

2 つのセットの等価性

数学に限らず、数学では、2 つの物体が同じ性質を持つ場合、それらは等しいと考えられ、したがってそれらを互いに区別することはできません (これがライプニッツの等号の定義です)。したがって、2 つのオブジェクトが等しい場合、つまり 2 つの式が実際に同じオブジェクトを指定している場合は、これらのオブジェクトが何であるかについての情報が得られることになります。集合論では、集合はその要素とその拡張によって完全に特徴付けられると判断しますが、集合にはいくつかの定義が存在します。たとえば、それ自体とは異なる整数のセットと、すべての素数より大きい整数のセットを区別する必要はありません。これら 2 つのセットは両方とも空であり、したがって、定義が異なっていても等しい (同じ要素を持っています)。 、およびまったく異なる理由で空です。

したがって、2 つの集合AとBが等しいと言い、それらがまったく同じ要素を持っている場合は、通常のA = Bとして注意します。このプロパティは拡張性として知られています。

(拡張性) ∀ x ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ) の場合に限り、 A = Bです。

ここで、「⇔」は論理的等価性を示します。同じ要素を持つ 2 つのセットは実際に同一です。つまり、一方について言えることはすべて他方にも言えるのです。 2 つのセットをそれぞれ名前がラベル付けされたバッグと考え、それらが等しい場合、実際には2 つのラベルが付いた 1 つの同じバッグになります。逆に、セットの特性はバッグの性質や形状には絶対的に依存せず、その内容のみに依存します。

したがって、セットはその要素によって完全に決定されます。したがって、セットが完成したら、伝統的に中括弧で囲まれたその要素のリストを与えることによってセットを定義することができます。たとえば、要素 2、3、5 が属し、これらの要素のみが属する集合は {2, 3, 5} と表されます。全体は拡張子で定義されます。

しかし、一般的にこの方法で進めることはできません。この方法で無限集合を定義することもできません。拡張表記に似た表記上の工夫も可能ですが、以下を参照してください。セットを定義する最も一般的な方法は、そのセットの要素に特徴的なプロパティを与えることです。たとえば、素数のセットを、1 とは異なり、1 とそれ自体を唯一の約数とする素数の特徴的な性質によって定義できます。理解する上で定義について話します。集合 {2, 3, 5} は、6 未満のすべての素数の集合として内包的に定義できます。有限集合の拡張における定義は、内包的定義の単純な特定のケースとして見ることができます。たとえば、集合 { 2, 3, 5} は、整数の場合、2、3、または 5 に等しいという特性によって特徴付けられます。

完成したセット

有限集合について話すとき、この概念を実際に定義することなく、ある意味で直感的に話します。指定された整数よりもすべて小さい整数を使用して要素を数えることができる場合、セットは有限です。

有限集合は、その要素のリストによって拡張子で定義し、そのように記述することができます。セット {2, 3, 5} についてすでに見たように、セットの要素のリストを中括弧の間に配置します。たとえば、すべての曜日は、{ 月曜、火曜、水曜、木曜、金曜、土曜、日曜 } で表すことができます。

拡張子でのセットの表記法は一意ではないことに注意してください。同じセットをさまざまな方法で拡張子で表すことができます。

• 要素の順序は関係ありません。たとえば、{1, 2} = {2, 1} です。
• 中括弧間の要素を繰り返しても全体は変更されません。

同じ例、{1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2} です。

拡張性の特性により、これらのセット内の同じ要素の繰り返しの数によってセットを区別することに問題はありません。要素はセットに属するか属さないか、1 回、2 回、または 3 回セットに属することはできません。回… 繰り返しなしで表記するように強制することもできますが、これは変数が介入するとすぐに非常に不便になります。要素が別個であると仮定することなく拡張子のセットに注目することはできません。

「繰り返しのある」セットが必要になる場合があります。有限の場合、より正確には、要素の次数までの有限シーケンスです。次に、有限マルチセットの概念を定義します (これは、次の概念から定義できます)。有限数列）。

単一の要素に縮小されたセットはシングルトンと呼ばれます。たとえば、唯一の要素として 0 を含むセットは「シングルトン 0」と呼ばれ、{0} と表されます。要素が 2 つだけあるセットはペアと呼ばれます。要素 1 と 2 のペア({1,2} で示されます) をペア (1,2) と混同しないでください。

集合論を公理化する場合、ペア (およびシングルトン) は特別な役割を果たします。記事「ペアの公理」を参照してください。

拡張性により、要素のない集合は 1 つだけ存在し、それは ∅ または {} で示される空の集合です。

内包における集合の定義

セットは理解の中で定義できます。つまり、セットは、特定のセットの要素間の特徴的なプロパティによって定義されます。したがって、偶数の自然数の集合は、自然数の間で「偶数である」という性質によって理解することによって明確に定義されます。理解の中で集合の表記法を使用することができます^{[ 4 ]} 。たとえば、偶数の自然整数の集合については、(

すべての自然数を指定します):

$$ {\{x \in\mathbb N \mid x\ \rm pair\}} $$

。

同様に、-7 から 23 までの相対整数のセットを定義します (

相対整数のセットを表す):

$$ {\{x \in\mathbb Z \mid -7 \leq x \leq 23\}} $$

。

非ゼロの完全な正方形のセット:

$$ {\left\{x \in\mathbb N \mid \exists y \in \mathbb N\ (y \geq 1\ {\rm et}\ x = y^2)\right\}} $$

。

この最後のセットについては、別のより直接的な表記法を採用できます。

$$ {\{y^2 \mid y\in \mathbb N\ {\rm et}\ y\geq 1 \}} $$

。

したがって、次の 2 つの表記形式があります。

{ x ∈ E | P( x )}、

「条件 P( x ) が true となるような E のxの集合、

{ f(x) | x ∈ Eと P( x )}

P ^{[ 5 ]}を満たすEの要素xのfによる画像の集合について。

他の例を次に示します。

• $$ {\{ z \in \mathbb C \;|\; z = \bar z \}} $$
  は実数の集合を表します
  $$ {\mathbb{R}} $$
  。
• $$ {\{M \in \mathcal M_n(\mathbb K) \;|\; {}^tM = M\}} $$
  は対称行列のセットを表します。
• $$ {\{x \in \mathbb Z \;|\; x \;\rm{pair}\;\}} $$
  すべての偶数整数の集合です
• $$ {\{2x\;|\;x\in \mathbb Z\}} $$
  もすべての偶数整数のセットです。

2 つの表記法のそれぞれについて、理解を 1 つのセット (2 番目の表記法の関数が定義されているセット) に限定する必要があります。これは余計なことのように思えるかもしれませんが、条件を何も取らないのはなぜでしょうか。しかし、そうであれば、集合 {x | を定義できます。 x ∉ x} となり、矛盾が生じます (これがラッセルのパラドックスです)。既知の集合への理解の制限は、この種のパラドックスから保護します (最初の表記は、ツェルメロの理論を理解するための公理の図に直接対応し、 2 番目の表記は、集合論の関数の定義を使用してそこから演繹されます。そのグラフは次のとおりです)ペアのセット）。 (前の段落のように) 要素のリストによって有限集合を導入したり、 Unionや集合の一部の集合などの通常の集合演算によって集合を導入したりする場合には、この種の制限は必要ありません。

「財産」や「状態」が何を意味するのかは語られていない。前述の制限にもかかわらず、リチャードのパラドックスやベリーのパラドックスなどの他のパラドックス (たとえば、「フランス語 15 語未満で定義可能なすべての自然整数」) のペナルティがあるため、すべてを承認することはできません。これらの条件を定義できる言語を指定する必要があります。特に、この言語は事前に定義する必要があり、単純な略語であるか、存在と一意性の証明から得られる定義を使用してのみ拡張できます。

その他の表記

特に数値の集合、より一般的には完全に順序付けられた集合の場合に便利な表記法は他にもあります。

無限カーディナリティのセット、または有限だが決定されていないセットの拡張表記法からインスピレーションを得た表記法として、 ellipsis を使用できます。たとえば、自然数の集合は次のように表すことができます。

= { 0、1、2、3、…}。 n が自然整数を指定することも明らかな場合、{1, 2, …, n }、または {1, …, n } は、一般に 1 以上で以下の整数のセットを指定します。 n またはnに等しい。同様に、次のように書くことができます = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}、または {-n, -n+1,…., n-1, n} .セットの要素を生成するための単純な反復プロセスがある場合、偶数の自然数のセットなどに対して {0, 2, 4, 6, …} のような表記が行われる危険性があります。もちろん、最初の 0,000 個の非ゼロ整数や、{ 3, 5, …, 21 } を記述する代わりに、「多くの」要素を持つセット、{1, 2, …, 1000} に対してこれらの表記を使用することもできます。 { 3、5、7、9、11、13、15、17、19、21 } ではなく。

これらの表記法はすべて体系的でも普遍的でもありません。また、少なくとも最後の表記法については、それほど厳密ではありません。また、実線の特定のサブセット、つまり間隔の、厳密な表記法を指摘することもできます。

表記法を乱用すると、定義内の変数に注目せず、プロパティだけを認識してしまうことがあります。したがって、中括弧の間に、それに属するオブジェクトの性質、または特徴的なプロパティを置くことによって、セットを表します。たとえば、{dogs} という表記はすべての犬のセットを指定します。より数学的な例を挙げると、すべての偶数を表す {evens} と書くこともできます。

注意事項