クラペイロンの公式またはクラウジウス・クラペイロンの関係式は、平衡状態にある 2 つの相における物質のモル体積の関数として物質の相変化の潜熱 L を計算し、相変化の曲線を知ることを可能にする一般式です。温度の関数として圧力を与える。または逆に、他の変数がわかっていれば、相変化中の圧力または温度の変化もわかります。
意味
式は次のとおりです。
- $$ {L = T\left(v_2 – v_1\right)\frac{dp}{dT} ~} $$
この式は、一次相転移の場合に有効です。
(二次相転移についてはエーレンフェストの公式を参照してください)
- $$ {T ~} $$相変化が起こる温度。
- $$ {v_1 , v_2 ~} $$平衡状態にある 2 つの相における物体のそれぞれの質量体積。
- $$ {\frac{dp}{dT} ~} $$圧力と温度の導関数。
式のデモンストレーション
純粋な物体に 2 つの相が共存する場合、この物体の化学ポテンシャルは 2 つの相のそれぞれで同じであることがわかっています。
- $$ {g_1 = g_2 ~} $$
微分すると次が得られます。
- $$ {\left(\frac{\partial g_1}{\partial T}\right)_p dT + \left(\frac{\partial g_1}{\partial p}\right)_T dp = \left(\frac{\partial g_2}{\partial T}\right)_p dT + \left(\frac{\partial g_2}{\partial p}\right)_T dp ~} $$
書かれているのは次のとおりです:
- $$ {-s_1 dT + v_1 dp = -s_2 dT + v_2 dp ~} $$
つまり:
- $$ {s_2 – s_1 = \left(v_2 – v_1\right)\frac{dp}{dT} ~} $$
一方、自由エンタルピーの定義関係を考えてみましょう。
2 つの相が平衡状態にあり、温度が一定である場合、微分すると次のようになります。
生成物 1 モルについて、次の結果が得られます。
アプリケーション
実践的な問題
- この関係は、圧力と温度の条件に応じて相変化が起こるかどうかを知るために使用されます。たとえば、アイススケートが可能になる理由を説明するためによく使用されます。スケーターからの圧力の増加により、スケート靴の下の薄い氷の層が溶けます。
- T = −2 °C の場合、クラウジウス・クラペイロンを使用して必要な圧力変化を計算すると、次のようになります。
- $$ {{\Delta p} = \frac{L}{T\Delta V} {\Delta T}} $$
- 使用方法:
- L = 3.34*10 5 J/kg、T=271K、 Δ V = -9.05 *10 -5 m 3 /kg、
- そして
- ΔT = 2K、
- 私たちは得ます
- Δ p = 27.2 MPa。
- これは、ピンヒール (表面積 = 0.5 cm 2 ) の上に立っている力士 (質量 = 150 kg) の体重に相当します。
- それだけが理由ではないようです！
気象学
- 気象学では、クラウジウス-クラペイロンの関係は、大気中の水の相変化エネルギーを計算するためのテフィグラム、スキュー T、エマグラムなどの熱力学図でよく使用されます。このような圧力対温度 (PT)ダイアグラムでは、2 つの相を分離する線は共存曲線dP / dTとして知られています。
- 気象学で特に重要なのは、水蒸気の飽和圧力” e s ”であり、その関係は次のようになります。
- $$ {\frac {d e_s}{dT} = \frac {L e_s} {T^2 R_v}} $$ここで、 R vは個々の理想気体定数 (水の場合 1850 J/Kg-K)