共移動距離 – 定義

導入

共移動距離は、宇宙の膨張を無視した、つまり宇宙の膨張に従う長さの単位を使用した 2 つの天体間の距離の特徴付けです。

特殊相対性理論は、いかなる慣性座標系も同等である、つまり、時空座標に「好ましい」選択はないと言っていますが、これは「点に向かう限界内で有効な、局所的な理論」にすぎません。

一般相対性理論も局所理論ですが、特殊相対性理論にはない重力をモデル化しているため、幾何学と密度を結び付けるために、正式にはリーマン多様体と呼ばれる空間の局所的性質を制約するために使用できます。多様性自体はグローバルです。

一般相対性理論の文脈では、ワイルの公準の仮定は、時空の好ましい基準系を定義でき、物理的な意味を持つことができるということです。この概念の実装を可能にする最も一般的な概念は、共移動座標の概念です。この概念では、空間基準座標系が銀河(またはかなりゆっくりと移動する大きな物質の塊) の平均 (空間) 位置に関連付けられます。

この座標の選択では、時間と宇宙の膨張の両方を無視して、空間の形状 (より正式には、一定の宇宙論的時間における空間超曲面の形状) に集中できます。

移動する座標内の空間は (平均して)静的です。これは宇宙が膨張しているという事実と完全に一致しています。座標の選択は、番号ラベルの選択にすぎません。ビッグバンの標準モデルによれば、これらのラベルを貼り付けるための特定の選択肢が存在するため、正式な計算と宇宙を静的物体として考える場合の両方において非常に実用的です。実際の展開に戻るには、スケール係数を覚えておく必要があります。

したがって、移動する座標内の固定空間点にいる観察者にとって、その局所的な時間測定と同一である宇宙論的時間も存在します。

したがって、共移動距離は、宇宙論的時間の同じ点における、空間内の 2 点間の共移動座標での距離です。

$$ { \chi = \int_{t}^{t_0} { c \; \mbox{d} t’ \over a(t’)}} $$

ここで、 a ( t ‘) はスケール係数です。宇宙論的な時間はグローバルな意味を持ちますが、時間と同一ではないため、ここでは同時のような単語は避けるべきです。

同等の言葉

• 書籍によっては、移動距離に記号χ を使用しているものもあります。

• Weinberg (1972) は、共移動距離に対して適切な距離[1] という用語を使用しています。

宇宙論におけるその他の有用な距離

• 光子の移動後の距離 – これは光の速度に宇宙論的な時間の間隔を掛けたものです。
  $$ {\int c\;dt } $$
  、一方の移動距離は
  $$ {\int c\; {dt \over a(t)} } $$
  ここで、 a ( t ) はスケール係数です。
• d _L輝度距離
• d _pm 自己運動距離。これは、1ラジアンの角度に対応する共移動座標での長さです。
  • ( James Peebles 1993[2] によって角サイズ距離と呼ばれることもあります)
  • 座標距離と呼ばれることもあります
  • d _{pm は}角直径距離と呼ばれることもあります
• d_角直径距離

最後の 3 つは次のようにリンクされています。

d _a = d _pm / (1 + z ) = d _L /(1 + z ) ²

ここで、 z は赤方偏移です。

曲率がゼロである場合にのみ、自己運動距離と共動距離は同一になります、つまりd _pm = χです。

負の曲率の場合、

$$ {d_\mathrm{pm} = R_C \sinh {\chi \over R_C}} $$

、

一方、正の曲率の場合、

$$ {d_\mathrm{pm} = R_C \sin {\chi \over R_C}} $$

、

ここで、 R _{C は}曲率半径の (絶対値) です。

物質密度パラメータΩ _m 、宇宙定数Ω _Λ 、およびクインテッセンス パラメータwの任意の値について、観測者のd _{p を}赤方偏移zまで数値積分するには、次のようになります。

$$ { d_p \equiv \chi(z) = {c \over H_0} \int^{a’=1}_{a’=1/(1+z)} {\mathrm{d}a \over a \sqrt{ \Omega_m /a – (\Omega_m + \Omega_\Lambda -1) + \Omega_\Lambda a^{-(1+3w)} } }, } $$

ここで、 cは光の速度、 _{H0 は}ハッブル定数です。

sin 関数と sinh 関数を使用すると、 d _pから固有運動距離d _pmを求めることができます。