カシミール効果について詳しく解説

導入

カシミール効果 は、1948 年にオランダの物理学者ヘンドリック・カシミールによって予測されたように、2 つの導電性の帯電していない平行プレート間の引力です。量子真空変動によるこの効果は、他の電極形状にも存在します。実験的には、鏡がよく使用されます。

原因

量子真空のゆらぎはすべての場の量子理論に存在します。カシミール効果は、量子電気力学の理論によって説明される、電磁場の変動によるものです。

2 つのプレート間の「真空」のエネルギーは、波長が 2 つのプレート間の距離を正確に分割する光子 (仮想光子を含む) のみを考慮して計算されます (

ここで、n は正の整数、λ は光子の波長、L は 2 つのプレート間の距離です)。これは、(これら 2 つのプレートの間の) 真空のエネルギー密度が、これら 2 つのプレート間に存在できる光子の数の関数であることを意味します。

プレートが近づくほど、ルールに従う光子の数は少なくなります

、波長が L より大きい光子は除外されるため、エネルギーは少なくなります。

したがって、これら 2 つのプレート間の力、つまり L に関するエネルギーの導関数は引力となります。

単位面積あたりの力の表現

(特に記載がない限り、副作用は常に無視されます)

寸法分析

互いに平行で距離Lだけ離れた、表面Sの 2 つの大きな平らな金属板を考えます。プレートが長方形の場合、

、2 つの平行プレート間の間隔L は、長さDおよびHに比べて小さいです。次に、エッジ効果を無視して単位面積あたりの力を計算できます。

さらに、プレートは無限の導電率を持つ完全な導体であり、帯電していないと仮定されます。この効果は量子論的および相対論的起源のものであるため、カシミールの単位面積あたりの力は 2 つの基本定数c (真空中の光の速度) と c に依存すると予想されます。

（行動量）。さらに、その効果はプレート間の距離Lにも依存する可能性が高くなります。したがって、単位面積あたりの力は次のように表されると仮定します。

$$ {\frac{dF}{dS} \ = \ k \ L^{\alpha} \ c^{\beta} \ \hbar^{\gamma}} $$

ここで、 k は純粋な無次元数であり、 α、β、γ の3 つの数が決定されます。次元解析により、次の連立方程式が得られます。

$$ {\left\{\begin{matrix} \gamma \ & = \ + \ 1 \\ \alpha \ + \ \beta \ + \ 2 \, \gamma \ & = \ – \ 1 \\ – \ \beta \ – \ \gamma \ & = \ – \ 2 \end{matrix}\right.} $$

その一意の解は次のとおりです: β = γ = 1

、 どちらか ：

$$ {\frac{dF}{dS} \ = \ k \ \frac{\hbar \, c}{L^4}} $$

カシミールの正確な結果

1948 年にカシミールによって行われた正確な計算では、熱力学的温度が全くゼロであるT = 0 K と仮定されています。定数kのゼロ以外の負の値が得られます。

$$ { \frac{dF}{dS} \ = \ – \ \frac{\pi^2}{240} \ \frac{\hbar \, c}{L^4} } $$

マイナス記号は、この力が魅力的であることを示します。この計算に興味のある読者は、Duplantier のレビュー記事で詳しく説明されています。距離Lだけ離れた領域Aの 2 つのプレート間のカシミール引力のノルムは、次の式で計算できます。

$$ {F \ = \ \frac{\pi^2}{240} \ \frac{\hbar \, c}{L^4} \ A} $$

有限温度の影響

実際の実験はすべて有限温度T > 0で行われるため、本質的に黒体放射によるこれらの温度の影響を推定する必要があります。 「逆温度」 β = 1/( kT )を導入しましょう。ここで、 kはボルツマン定数です。次元分析により、パラメータが次のとおりであることがわかります。

$$ {\alpha \ = \ \frac{\pi \beta \hbar c}{L}} $$

無次元です。次に、現実的な短距離の限界を検討します。

固定温度Tで、次の場合に対応します。 。この制限では、次が得られます。

$$ { \frac{dF}{dS} \ = \ – \ \frac{\pi^2}{240} \ \frac{\hbar \, c}{L^4} \ – \ \frac{\pi^2}{45} \ \frac{1}{\beta} \ \frac{1}{(\beta \hbar c)^3} \ + \ \frac{1}{\beta} \ \frac{\pi}{L^3} \ e^{- \, \alpha} \ + \ O(e^{- \, 2 \, \alpha})} $$

第 1 項はゼロ温度でのカシミール項、第 2 項は無限体積の黒体放射による引力寄与、第 3 項は黒体放射寄与上のプレートによる有限サイズ補正に対応します。

室温で:

そして現実的な間隔のために 、の数値 : 黒体放射の寄与に関する有限サイズ補正に対応する第 3 項。 したがって、実際には完全に無視できます。

第 1 項に対する第 2 項の比率 (次元なし) については、次の値になります。

$$ { \gamma \ = \ \frac{\mathrm{corps ~ noir}}{\mathrm{Casimir ~ a ~} T = 0} \ = \ \frac{240}{45} \ \frac{L^4}{(\beta \hbar c)^4} \ \sim \ 10^{-4} } $$

通常の実験条件下では、あたかも温度がゼロであるかのようにすべてが起こります。詳細な分析に興味のある読者は、Duplantier のレビュー記事を参照してください。