導入
プロパゲーターという用語は、ハミルトニアンに基づく標準量子化の通常の手順とは対照的に、ラグランジアンを中心とした量子化への新しいアプローチである経路積分における量子力学の定式化のために、1948 年にファインマンによって物理学に導入されました。
プロパゲータは非常に便利な数学的ツールであり、Dyson によってすぐにGreen 関数以外の何ものでもないと識別されます。この発言により、ダイソンは 1948 年に、シュウィンガーが開発した量子電気力学の抽象的な定式化と、ファインマンが独自に発明した、図に基づいた量子電気力学の抽象的な定式化との間のミッシング リンクを作成することができました。
プロパゲータ
導入
1次元で質量mの非相対論的粒子を考えます。そのハミルトニアン演算子は次のように記述されます。
$$ {\hat{H} \ = \ \frac{\hat{p}^2}{2m} \ + \ V(\hat{q}) } $$ |
シュレディンガー表現では、この粒子はケットによって記述されます。
$$ {i \hbar \ \frac{d | \psi(t) \rangle}{dt} \ = \ \hat{H} \ | \psi(t) \rangle} $$ |
最初の瞬間t 0で初期条件を固定するとします。
$$ {| \psi(t) \rangle \ = \ e^{-i\hat{H} (t-t_0) /\hbar} \ | \psi(t_0) \rangle} $$ |
この方程式を位置表現に投影してみましょう。
$$ { \langle q | \psi(t) \rangle \ = \ \langle q |e^{-i\hat{H} (t-t_0) /\hbar} \ | \psi(t_0) \rangle} $$ |
そして、右側の項に閉包関係を挿入します。
$$ {1 \ = \ \int dq_0 \ | q_0 \rangle \ \langle q_0 |} $$ |
彼は来ます：
$$ { \langle q | \psi(t) \rangle \ = \ \int dq_0 \ \langle q |e^{-i\hat{H} (t-t_0) /\hbar} \ | q_0 \rangle \ \langle q_0 | \psi(t_0) \rangle} $$ |
という事実を考慮すると、
$$ { \psi(q,t) \ = \ \int dq_0 \ \langle q |e^{-i\hat{H} (t-t_0) /\hbar} |q_0 \rangle \ \psi(q_0,t_0) } $$ |
意味
シュレディンガー方程式のプロパゲータを次のように定義します。
波動関数は積分方程式に従って発展します。
$$ { \psi(q,t) \ = \ \int dq_0 \ K(q,t|q_0,t_0) \ \psi(q_0,t_0) } $$ |
気づいた
ψ( q , t ) はシュレディンガー方程式の解であるため、プロパゲータもこの方程式の解になります。
$$ {i \hbar \ \frac{\partial K(q,t|q_0,t_0) }{\partial t} \ = \ – \ \frac{\hbar^2}{2m} \ \Delta_q \ K(q,t|q_0,t_0) \ + \ V(q) \ K(q,t|q_0,t_0)} $$ |
初期条件も検証する必要があります。
$$ {\lim_{t \to t_0} K(q,t|q_0,t_0) \ = \ \delta(q-q_0)} $$ |
この場合、数学者はシュレディンガー方程式の初等解について語り、物理学者は代わりにグリーン関数という名前を使用します。
自由粒子の伝播体の表現
フーリエ変換についての注意事項
以下の関係を思い出してください。
- $$ { \hat{\psi}(p) \ = \ \int \frac{dq}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \ e^{\, – \, i p q/\hbar} \ \psi(q) } $$
- $$ { \psi(q) \ = \ \int \frac{dp}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \ e^{\, + \, i p q/\hbar} \ \hat{\psi}(p) } $$
ディラック記法を使用し、インパルスの閉包関係を使用します。
2 番目の関係は次のように記述されます。
\ = \ \int dp \ < q | p > \
} $$
次の式を導き出します。
自由粒子の伝播体の表現
右側の自由粒子の場合、ハミルトニアン演算子は位置に依存しません。
- $$ {\hat{H} \ = \ \frac{\hat{p}^2}{2m}} $$
次に、プロパゲータ (この場合はK 0とします) は次のように書かれます。
} $$
次に、インパルスの閉包関係をプロパゲータの定義に 2 回挿入しましょう。
\
\
} $$
ケット| p 0 >は定義によりインパルス演算子の固有状態である
行列要素は次のようになります。
< p | p 0 > = δ( p − p 0 ) 、プロパゲータについては次のようになります。
\ e^{-ip^2(t-t_0)/ (2m\hbar)} \
} $$
フーリエ変換で以前に示した式を考慮すると、次のようになります。
- $$ {K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \int dp \ \frac{e^{\, + \, i p q/\hbar}}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \ \times \ e^{-ip^2(t-t_0)/ (2m\hbar)} \ \times \ \frac{e^{\, – \, i p q_0/\hbar}}{\sqrt{2 \pi \hbar}}} $$
これは書き換えられます:
- $$ {K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \int \frac{dp}{2 \pi \hbar} \ \exp \left[ \, \frac{i p (q-q_0)}{\hbar} \ – \ \frac{ip^2(t-t_0)}{2m\hbar} \, \right] } $$
指数引数は次のように書き換えることができます。
- $$ {\frac{i p (q-q_0)}{\hbar} \ – \ \frac{ip^2(t-t_0)}{2m\hbar} \ = \ – \ \frac{i (t-t_0)}{2m\hbar} \ \times \ \left[ \ p^2 \ – \ \frac{2mp(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \right]} $$
フックは完全な正方形の始まりです。
- $$ {p^2 \ – \ \frac{2mp(q-q_0)}{(t-t_0)} \ = \ \left[ \ p \ – \ \frac{m(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \right]^2 \ – \ \frac{m^2(q-q_0)^2}{(t-t_0)^2}} $$
したがって、指数関数の引数は次のようになります。
- $$ {- \ \frac{i (t-t_0)}{2m\hbar} \ \times \ \left[ \ \left( \ p \ – \ \frac{m(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \right)^2 \ – \ \frac{m^2(q-q_0)^2}{(t-t_0)^2} \right]} $$
- $$ {= \ – \ \frac{i (t-t_0)}{2m\hbar} \ \left( \ p \ – \ \frac{m(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \right)^2 \ + \ \frac{i m(q-q_0)^2}{2 \hbar (t-t_0)} } $$
最後の項はインパルスから独立しており、積分を離れ、プロパゲータは次のように書かれます。
- $$ {K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \exp \left( \frac{i m(q-q_0)^2}{2 \hbar (t-t_0)} \right) \ \times \ \int \frac{dp}{2 \pi \hbar} \ \exp \left[ \, – \ \frac{i (t-t_0)}{2m\hbar} \ \left( \ p \ – \ \frac{m(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \right)^2 \, \right] } $$
パルスの変数を変更し、他のパラメータは固定します。
- $$ {p \ \longrightarrow \ k \ = \ p \ – \ \frac{m(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \Longrightarrow \ dp \ \longrightarrow \ dk \ = \ dp } $$
これは次のようになります:
- $$ {K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \frac{1}{2 \pi \hbar} \ \exp \left( \frac{i m(q-q_0)^2}{2 \hbar (t-t_0)} \right) \ \times \ \int dk \ \exp \left[ \, – \ \frac{i (t-t_0) k^2}{2m\hbar} \, \right]} $$
正確に計算されたガウス積分が残ります。
- $$ {\int dk \ e^{- \alpha k^2} \ = \ \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}} $$
私たちは次のように推測します。
- $$ {K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \frac{1}{2 \pi \hbar} \ \sqrt{\frac{2\pi m \hbar}{i(t-t_0)}} \ \exp \left( \frac{ + i m(q-q_0)^2}{2 \hbar (t-t_0)} \right)} $$
したがって、自由プロパゲータの最終的な式は次のようになります。
$$ {K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \sqrt{\frac{m}{2 \pi i \hbar (t-t_0)}} \ \exp \left( \frac{ + i m(q-q_0)^2}{2 \hbar (t-t_0)} \right)} $$ |
気づいた
d次元ユークリッド空間の自由粒子の場合、次のことを同様に証明できます。