数学では、除数関数σa ( n ) は、n の約数のa乗の和として定義されます。
- $$ {\sigma_{a}(n)=\sum_{d|n} d^a\,\!} $$
d ( n ) という表記は、σ 0 ( n )、つまりnの約数の数を表すためにも使用されます。シグマ関数σ( n ) は次のとおりです。
- $$ {\sigma_{1}(n)=\sum d} $$。
たとえば、 pが素数の場合、
- $$ {\sigma (p)=p+1\,\!} $$
なぜなら、定義により、素数の因数は 1 とそれ自体だからです。
一般に、除数関数は乗算的ですが、完全に乗算的ではありません。
この結果を書くと、
- $$ {n = \prod_{i=1}^{r}p_{i}^{\alpha_{i}}} $$
それなら私たちは持っています
- $$ {\sigma(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{\alpha_{i}+1}-1}{p_{i}-1}} $$
私たちも注意しています
- $$ {s(n) = \sigma(n) – n\,\!} $$。
この関数は、 nに対して次のような完全数を認識するために使用されます。
- $$ {s(n) = n\,\!} $$。
たとえば、2 つの異なる素数pとqについて、次のようにします。
- $$ {n = pq\,\!} $$
それで
- $$ {\phi(n) = (p-1)(q-1) = n + 1 – (p+q)\,\!} $$
- $$ {\sigma(n) = (p+1)(q+1) = n + 1 + (p+q)\,\!} $$
除数関数を含む 2 つのディリクレ級数は次のとおりです。
- $$ {\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-a)} $$
そして
- $$ {\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}} $$