導入
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いくつかの観測値の表現
オブザーバブル間の切り替え関係は、ハミルトニアン力学と量子力学の間の対応原理から推定されます。それらの式は数学的分析から見つけることができます。
| 観測可能 | シンボル | フレーズ | コメント |
|---|---|---|---|
| 位置 | $$ {\hat \vec r = (\hat x,\hat y,\hat z)} $$ | $$ {\hat x : \psi \mapsto \tilde\psi\text{, avec }} $$ | |
| 脈 | $$ {\hat \vec p = (\hat p_x,\hat p_y,\hat p_z)} $$ | $$ {\hat \vec p = \frac{\hbar}{i}\nabla = -i \hbar (\frac {\partial}{\partial x},\frac {\partial}{\partial y},\frac {\partial}{\partial z})} $$ | 2 番目の式は、クーロンゲージの荷電粒子に対して有効です。 |
| 運動エネルギー | $$ {T, K \,\!} $$ | $$ {\frac{p^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta} $$ | |
| 軌道角運動量 | $$ {\hat \vec L = (\hat L_x,\hat L_y,\hat L_z)} $$ | $$ {\hat \vec L = \hat \vec r \times \hat \vec p} $$ | L 2とL zに共通の固有ベクトルは球面調和関数を形成します |
| スピン | $$ {\hat \vec S = (\hat S_x,\hat S_y,\hat S_z)} $$ | $$ {\hat S_x = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ; \quad \hat S_y = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & – \ i \\ i & 0 \end{pmatrix} ;} $$ | スピン1/2の場合に有効な計算式 |
| 全角運動量 | $$ {\hat \vec J} $$ | $$ {\hat \vec L + \hat \vec S} $$ | |
| 角運動量の二乗 | $$ {\hat J^2} $$ | $$ {\hat J_x^2 + \hat J_y^2 + \hat J_z^2} $$ | |
| 電界 | $$ {\hat \vec E(x)} $$ | $$ {i\frac {\mathcal E_k^{(0)}(x)} 2 (a_k-a_k^+) \vec e_k(x)} $$ | フィールドの単一モード (k) に対して有効です。 $$ {\vec e_k} $$ は偏光を示す単位ベクトルです。 |
黒体の法則
ステファン・ボルツマンの法則によれば、黒体から放出されるエネルギー流Φ は、絶対温度T (ケルビン単位) の関数として変化します。
- Φ = σ T 4
ここで、σ はステファン・ボルツマン定数です。
特定の波長λ に対するエネルギー束密度d Φ は、プランクの法則によって与えられます。
- $$ {\frac{d\Phi}{d\lambda} = \frac{2\pi c^2 h}{\lambda^5 } \cdot \frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}} $$
ここで、 cは真空中の光の速度、 hはプランク定数、 k はボルツマン定数です。このスペクトルの最大値はウィーンの法則によって与えられます。
- $$ {\lambda_{max} = \frac{hc}{4,965\cdot kT} = \frac{2,898 \cdot 10^{-3}}{T}} $$。
時間の経過による進化
シュレーディンガー方程式
- あらゆる状態の場合: 状態は時間依存のシュレーディンガー方程式に従って発展します。
- $$ {i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi(t)\right\rangle = \hat{H}\left|\psi(t)\right\rangle } $$
- エネルギーの固有状態、つまり固有値方程式を満たす場合
$$ {\hat{H}\left|\psi_0\right\rangle = E\left|\psi_0\right\rangle} $$
最初の瞬間 t=0 では、その後の瞬間 (t>0) での展開は次のようになります。 $$ {\left|\psi(t)\right\rangle = e^{-\frac{i\,E\,t}{\hbar}}\left|\psi_0\right\rangle} $$
一部のハミルトニアンの表現
| 名前 | 表現 | コメント |
|---|---|---|
| ポテンシャル内の粒子 | $$ {H=\frac{P^2}{2m}+V(\vec r)} $$ | V ( r )中心ポテンシャル (つまり、球対称) の場合 |
| クーロンポテンシャル | $$ {V(r)=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0 r}} $$ | |
| 高調波ポテンシャル | $$ {V(r)= \frac 1 2 m \omega_0^2 r^2} $$ | |
| 無限のバリアのある四角い井戸 | $$ {V(r)=0 \text{ si } L\in[-L/2, L/2]} $$ | 条件 $$ {V(r)=\infty} $$ はψ( r ) = 0と同等です。 |
| 2 つの角モーメント間の単純化された相互作用 | $$ {H=J\,\hat \vec J_1.\hat \vec J_2} $$ | |
| 電気双極子結合、半古典的アプローチ | $$ {H_\text{int}(t)=e\,\hat \vec r.\vec E(t) = -\hat \vec d.\vec E(t)} $$ | E ( t ) は、双極子の位置における電場です。 d は電気双極子モーメントです。 |
| 電磁場のモードのハミルトニアン | $$ {H=\hbar \omega (a^+a +1/2)} $$ | 1D調和振動子のハミルトニアンも同じ形式で表すことができます。 |
| ジェインズ・カミングス・ハミルトニアン (電気双極子および回転場の近似を使用して場の単一モードと相互作用する 2 準位原子) | $$ {H_\text{int}=\hbar \Omega (|e\rangle\langle f|a + |f\rangle\langle e|a^+)} $$ |
|
シュレディンガー方程式の伝播者
行列指数の概念から、シュレディンガー方程式の形式的な解を見つけることができます。この解決策は次のように書かれています。
- $$ {\left|\psi(t)\right\rangle = U(t,t_0)\left|\psi(t_0)\right\rangle,} $$と
- $$ {U(t,t_0) = U(t-t_0) = \exp\left(-i\frac{H}{\hbar}(t-t_0)\right)} $$H が時間に明示的に依存しない場合、および
- $$ {U(t,t_0) = \exp\left(-i\frac{\int_{t_0}^t H(t’)dt’}{\hbar}\right)} $$一般的な場合。
| 表現： | |||
| ハイゼンベルク | 交流 | シュレディンガー | |
| ケット | 絶え間ない | $$ {|\Psi(t)\rangle_I = U_0^{-1} |\Psi(t)\rangle_S} $$ | $$ {|\Psi(t)\rangle_S = U |\Psi(t_0)\rangle_S} $$ |
| 観測可能 | A H ( t ) = U − 1 A S U | $$ {A_I (t)=U_0^{-1} A_S U_0 } $$ | 絶え間ない |
| 進化演算子 | $$ { \hat H = \hat H_0 + \hat V(t) } $$ | $$ {U(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H(t-t_0)} } $$ $$ {U_0(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H_0(t-t_0)} } $$ | |
| 量子力学：エーレンフェストの定理・シュレーディンガー方程式・プロパゲーター | |||
ハイゼンベルクの代表
ハミルトニアンが明示的に時間に依存しない場合、シュレディンガー表現と呼ばれる伝統的な表現では、オブザーバブルは時間に依存せず、状態は時間に依存します。ユニタリ変換によって、状態は時間に依存せず、以下の方程式に従って観測量が時間に依存するハイゼンベルク表現に移行できます。
- $$ { {d \over {dt}}A={1 \over {i\hbar}}[A,H]+\left({{\partial A} \over {\partial t}}\right)_\text{explicite}} $$
