ステファン・ボルツマンの法則について詳しく解説

物理学では、ステファン・ボルツマンの法則^{[ 1 ]}により、黒体の自由半空間の単位表面あたりに放射される総パワー (黒体のエネルギー放射^{[ 2 ]} ) が次の式で表されることが確立されています。

$$ {\ M = \sigma T^4} $$

ここで、 σ はステファン・ボルツマン定数(ステファン定数とも呼ばれます) です。

プランクの法則

プランクの法則からステファンの法則が導き出され、総エネルギー輝度を決定することができます。

$$ {L = \int_{0}^{\infty} {L_{\lambda} d\lambda}} $$

特定の方向の輝度は、発光面の法線に対する角度の余弦によってさらに重み付けされるため (ランベルトの法則)、黒体の放射エネルギーは次のようになります。

$$ {\ M = \pi L} $$

デモンストレーション

黒体が発するスペクトル密度の表現から始めます (プランクの法則)。私たちは脈動という観点から取り組んでいます。 u が単位体積あたりの内部エネルギーである場合 (

$$ {u = \frac{ \partial U}{ \partial V}} $$

)、スペクトル密度はωとω + d ωの間の脈動光子のエネルギーです。

$$ {u_{\omega} = \frac{\partial u}{\partial \omega} = \frac{\hbar}{c^3\pi^2}\frac{\omega^3}{\exp \left(\frac{\hbar\omega}{k_B T} \right)-1}} $$

注:波長で作業したい場合は、次のように書くことができます。

$$ {u_{\lambda} = \frac{\partial u}{\partial \lambda} = \frac{\partial u}{\partial \omega} \frac{\partial \omega}{\partial \lambda}} $$

。
確かに、

$$ {\omega = \frac{2\pi c}{\lambda}} $$

それで

$$ {d\omega = -2\pi c\frac{d\lambda}{\lambda^2}} $$

そして

$$ {u_{\lambda} = -\frac{8\pi hc}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}}-1}} $$

この記事の残りの部分では、すべての計算が次を使用して実行できることを知っているので、脈動でのみ作業します。

$$ {\lambda = 2\pi\frac{c}{\omega}} $$

ここで、黒体が発する (すべての脈動に対する) 総表面パワーを表現しようとします。私たちはそれを示します

$$ {\varphi_e} $$

は黒体の単位表面によって放出されるパワーです。

$$ {\frac{d\varphi_e}{d \omega} = \frac{c}{4}u_{\omega}} $$

。各脈動に対するこれらすべてのパワーを合計することで得られる合計パワーは、次のように計算されます。

$$ {\int_{0}^{\infty} \frac{\hbar}{4\pi^2c^2}\frac{\omega^3}{e^{\frac{\hbar\omega}{k_B T}}-1}\, d\omega} $$

変数を変えることで

$$ {x = \frac{\hbar\omega}{k_B T}} $$

を取得します。

$$ {P_{Surfacique} = \frac{(k_B T)^4}{4\pi^2c^2\hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^x-1} \, dx = \sigma T^4} $$

と

$$ {\sigma = \frac{k_B^4}{4\pi^2c^2\hbar^3}\frac{\pi^4}{15} = \frac{\pi^2 k_B^4}{60c^2\hbar^3} = 5.67.10^{-8} SI} $$

歴史

ステファン・ボルツマンの法則は、1879 年にヨーフ・ステファン (1835-1893) によって実験的に発見され、その理論的基礎は1884 年にルートヴィヒ・ボルツマン (1844-1906) によって熱力学の枠組みの中で築かれました。

この法則は、スロベニアの物理学者の名前にちなんで名付けられた唯一の物理法則です。

ステファンは、3 月 20 日、ウィーン科学アカデミーのセッションの会報の記事Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (熱放射と温度の関係について) (ドイツ語) でこのこの法則を発表しました。

太陽の温度

ステファンは、この法則を使用して、太陽の表面温度も決定しました。彼は、Charles Soret (1854–1904) のデータから、太陽のエネルギーの流れが、加熱された金属片のエネルギーの流れよりも 29 倍大きいことを知りました。ソレットは測定装置の前に、太陽と同じ角度に見えるような距離に円形の細片を置きました。彼はラメラの温度を 1900°C から 2000°C の間と推定しました。

ステファンは、太陽のエネルギー束の 3 分の 1 が地球の大気によって吸収されると仮定しています^{[ 3 ]}ので、この比率を係数 3/2 で補正します: 29 × 3/2 = 43.5。 Stefan は、温度測定の平均値 1950°C を使用します。これは、絶対温度2223 K に相当します。

法則を適用すると、太陽の温度はラメラの温度の 43.5 ^0.25 = 2.568 倍に等しくなります。したがって、Stefan は 5709 K の値を取得します (現在の値は 5780 K)。これは、太陽の温度についての最初の本格的な推定値でした。以前に提示された値は、1800°C から 13,000,000°C の間で変動していました。

星の光線

ステファン・ボルツマンの法則により、天文学者は星の半径を簡単に計算できます。実際、星の光度L は次のように表されます。

L = 4πσ R ² T ⁴

ここで、L は明るさ、 σはステファン・ボルツマン定数 (またはステファン定数)、R は星の半径、T は星の温度です。この法則は、ホーキング放射のブラックホール熱力学でも尊重されます。

注意事項

↑またはステファン。
↑国際照明委員会によって推奨された名前 (以前のエネルギー放射率)。
↑大気吸収の正確な測定は 1888 年と 1904 年まで行われませんでした。