トポロジでは、オープンとは、特定のトポロジの一部であるセットです。
意味
(E,T) を位相空間とします。ここで、E は集合、T は E の部分集合の集合です。定義により、X が T の要素である場合、集合X は (E,T) 上の開です。
この定義は最も一般的なものであり、オープン スペースをトポロジーの基本要素として位置づけています。
プロパティ
位相空間(E、T) の定義そのものにより、開いた空間は次の特性を満たします。
- E と空の集合は開いています。
- 開集合 (有限または無限) の和集合は開集合です。
- 2 つのオープン スペースの交差点はオープン スペースです。拡張すると、有限数のオープン スペースの交差点がオープン スペースになります (これは、無限の数のオープン スペースの場合には必ずしも当てはまりません)。
位相空間 E のサブセットSには、少なくとも 1 つのオープン (おそらく空) が含まれます。これらのオープン スペースのうち最大のものは S の内部と呼ばれ、S に含まれるすべてのオープン スペースの和集合を考慮することで構築できます。
2 つの位相空間 E と F を考えます。F の任意の開集合の逆像が E の開集合である場合、E から F までの関数 f は連続です。
特殊な場合
メートル空間
定義
(E,d)を計量空間とする。この空間では、中心 x および半径 r の開いた球は、x からの距離が厳密に r より小さい E 内の点のセットです。
- $$ {B(x,r)=\{ y\in E : d(x,y)。
S の任意の点x について、x を中心とし、S に含まれるボールが存在する場合、この空間のサブセット S は開いています。
- $$ {S \subset E} $$は E の開放です if$$ {\forall x \in S,\exists r width=} $$0 / B(x,r) \subset S” >。
同様に、x のすべての点に S に含まれる近傍がある場合に限り、S はオープンです。
概略的には、これは、S の各点 x について、x に十分近い点も含まれている場合、S が E の開であることを意味します。
この定義は、ユークリッド空間の場合を一般化したものであり、ユークリッド距離が与えられたユークリッド空間は計量空間である。
例
- $$ {\varnothing} $$とEは開いています。
- オープンボールはオープンです。したがって、「オープン ボール」という名前はオープンの定義と一致しています。
- I を実数の集合の区間とする。この概念の通常の定義の意味で、I が「開区間」である場合に限り、I は R の開部分になります。したがって、「オープンインターバル」という名前はオープンの定義と一致しています。
