導入
数学では、固定近傍での指定された関数fの漸近展開は、考慮されている近傍での関数fの動作の良好な近似を与える参照関数の有限和になります。漸近発展の概念は 、摂動理論による天力学のN 体問題の研究に関連してポアンカレによって導入されました。
和は有限であるため、収束の問題は生じません。私たちは、無限の項からなる合計を「漸近級数」という誤った呼び方で言うことがあります。級数は一般に発散するため、この無限和はほとんどの場合形式的です。
漸近分析: 同等の動作
導入
漸近分析は、特定の特徴的な傾向に焦点を当てて、特定の近傍における関数の動作を分類する分析方法です。一般的には同値関係で表現されます。たとえば、実変数xの 2 つの複素関数fおよびgを考えてみましょう。点x 0の近傍での挙動を研究したいと考えています。次のように書きます。
次の事実を翻訳します。
これは関数間の同値関係を定義しており、関数fの同値類は、 x 0の近傍でfと同様の動作をするすべての関数gから構成されます。したがって、比較を確立するための参照として機能する一連の「単純な」関数を定義することになります。まず最初に、私たちはいつでもこの近辺の研究に戻ることができることに注目しましょう。
の近くで
比較関数
定義
の近くで知られていると考えます
- 定数関数 1;
- x α 、ここで$$ {\alpha \in \mathbb R^*} $$;
- (ln x ) βここで$$ {\beta \in \mathbb R } $$;
- $$ { \exp ( c \, x^{\gamma} )} $$、 または$$ {c \in \mathbb R^* , \gamma \in \mathbb R^{+*}} $$;
自社の製品、つまり次の形式の機能も同様です。
ここで、 P(x) の形式は次のとおりです。
プロパティ
これらの比較関数をすべてEで指定すると、次のような特性が得られます。
- Eのすべての関数は次の近傍で正になります。 $$ {+ \infty} $$;
- 定数関数 1 は別として、 Eの関数はいずれもゼロまたはゼロに向かう傾向があります。 $$ {+ \infty} $$x が次の傾向にあるとき$$ {+ \infty} $$;
- Eの関数の積はすべてEに属します。
- f がEに属する場合、 f λ はすべての実数λに対してEに属します。
最後の 2 つの特性は、特にEの 2 つの関数の商がEに属することを示しています。
g がEの関数である場合、 f = cg ( cは複素数) の形式の既知の複素関数fも考慮します。
機能の主要部分
f を関数の近傍で動作を分析する関数とします。
ランダウ記法を使用します。 ( Eのすべての関数はそれ自体の主要部分です。)
「漸近系列」
導入
無限の項で構成される展開について、誤った呼び方で「漸近級数」と呼ぶことがあります。級数は一般に発散するため、この無限和はほとんどの場合形式的です。
たとえば、点x 0の近傍にある滑らかな関数fの場合、そのテイラー展開をどこまでも押し進めることができます。次に、得られたテイラー級数の収束と、その和と開始関数fの間の関係の問題を提起できます。この問題は、 x 0の近傍における関数fの漸近挙動とは無関係です。
例
関数f(x) を|x|の収束級数によって定義するとします。 < 1 :
fの最後の式により、その定義をx = 1のプライベート複素平面全体、特に元の系列が発散している部分に拡張することが可能になります。次にe − x / tを掛けて積分してみましょう。正式に次のものを取得します。
ここで、 Γ( z ) はオイラーガンマ関数です。左側の積分は指数積分Ei(x)の関数として表され、 t=0付近でこの関数の漸近展開が得られます。
ゼロ以外のtについては、右辺は収束しません。一方、「小さい」非ゼロtの場合、合計を有限数の項に切り捨てることで、関数の適切な表現が得られます。