オプション評価のブラック・ショールズ モデル(フィッシャー ブラックとマイロン スコールズにちなんで命名) は、欧州オプションなどの金融オプションの価値を理論的に推定するために金融数学で使用されるモデルです。
歴史的および経済的重要性
この本は 1973 年に出版され、ポール サミュエルソンとロバート マートンによって行われた研究の継続でした。フランスの数学者ルイ・バシュリエは、 1900 年にこの主題の研究を開始しました。ブラックとショールズの基本的な直観は、オプションの暗黙の価格と原資産の価格変動を関連付けることでした。彼らの発見はすぐに大きな影響を及ぼし、そのモデルのバリエーションは金融市場のあらゆる分野で使用されています。 1977 年には、オルドリッヒ・ヴァシチェクがこの理論に触発されて、現代の金利理論を確立しました。
マートンとスコールズは、その業績により1997年に「ノーベル経済学賞」を受賞しました（フィッシャー・ブラックは残念ながら1995年に亡くなりました）。
ブラック・ショールズ式
ブラック・ショールズの公式を使用すると、次の 5 つのデータ ポイントからオプションの理論値を計算できます。
- $$ {\mathcal{}S_0} $$原株の現在価値
- $$ {\mathcal{}T} $$オプションの有効期限までの残り時間 (年単位で表示)
- $$ {\mathcal{}K} $$オプションによって設定された行使価格
- リスクフリー金利
- $$ {\mathcal{}\sigma} $$株価のボラティリティ
日付 T に資産 S を価格 K で購入する権利は与えられますが、義務は与えられないコールオプションの理論価格は、その利得によって特徴付けられます。
オプションの価格は、割引された最終利益のリスク中立確率に基づく期待によって与えられます。
同様に、プットオプションの理論価格はペイオフされます。
と
- $$ {\mathcal{N}} $$縮小中心正規則の分布関数$$ {\mathcal{N}\left( 0,1 \right)} $$、つまり$$ {\mathcal{N}(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}u^2} du} $$
- $$ {d_1 = \frac{1}{\sigma\sqrt{t}} \left[ \ln \left( \frac{S}{K} \right) + \left( r + \frac{1}{2}\sigma^2 \right)t \right]} $$
- $$ {d_2 = d_1 – \sigma \sqrt{t}} $$
ブラック・ショールズの公式は、原資産の収益がガウスである、または同等に、資産の価値が幾何学的なブラウン拡散に従うという仮定に依存しています。
最初の 4 つのデータは明らかですが、ボラティリティのみがわかります。
この式は逆に適用することもできます。市場で提示されているオプションの価格を考慮すると、その価値はいくらになるでしょうか。
ブラック・ショールズモデル
ブラック・ショールズの公式は、多くの条件が確立されていれば厳密に証明できます。それから私たちはブラック・ショールズ・モデルについて話したり、私たちはブラック・ショールズのケースにいると言ったりします。金融市場はこのモデルに非常によく適合しますが、もちろん完全に適合するわけではありません。特に、モデルの中心となる仮説に反して、時間は連続的ではありません。したがって、このモデルと現実の間には一定のギャップがあり、価格の不連続性が頻繁に発生して市場が動揺すると、ギャップが大きくなる可能性があります。
モデルの条件は以下の通りです。
- 原資産の価格は幾何学的なブラウン運動に従います。
- ボラティリティは事前にわかっており、一定です。
- いつでも手数料なしで原資産を売買することが可能です。
- 空売りが認められる（原資産の一定量を借りて販売する場合）。
- 配当はありません。
- 金利は事前にわかっており、一定です。
- オプションは有効期限当日にのみ行使でき、それ以前には行使できません（欧州行使オプション、欧州オプションと呼ばれます）。
ブラックとスコールズモデルの実践
ブラック・ショールズ モデルの基本理論は、原資産が市場で取引される場合、コール オプションの価格が暗黙的に示されるというものでした。
ブラック・ショールズのモデルと公式の使用は金融市場で非常に普及しており、特定の相場は絶対価格ではなくボラティリティレベルで示されるほどです。実際、モデルの他のパラメーター (満期までの期間、行使価格、リスクフリー金利、原資産の価格) は市場で簡単に観察できます。
ただし、ブラックとスコールズのモデルは現実世界を正確にモデル化したものではありません。経験によれば、実際にはボラティリティは権利行使価格と満期に依存します。
実際には、ボラティリティ表面(権利行使価格と満期の関数としてのインプライド ボラティリティ) は平坦ではありません。多くの場合、特定の満期では、権利行使価格に対するインプライド ボラティリティはスマイルの形 (ボラティリティスマイルと呼ばれます) を持ちます。つまり、マネーでのインプライド ボラティリティは最も低くなり、マネーから離れるほど、インプライド ボラティリティは低くなります。それは高いです。また、株式市場では笑顔が対称的ではないことが多く、コール側よりもプット側の方が高いことにも注意してください。これは、市場参加者が株価の上昇リスクよりも下降リスクに敏感であるためです。
特定の権利行使価格について、観察されたインプライド ボラティリティとアットザマネー ボラティリティの差は、スキューと呼ばれます。
原資産のボラティリティ表面も時間の経過とともに変化します。市場参加者は常にそれを再評価し、権利行使価格と満期ごとに、オプションが最終的にイン・ザ・マネーになる確率の予想を修正します。
数式拡張
上記のオプション価格計算式は、無配当株の欧州オプションを評価するために使用されます。ブラック・ショールズモデルは、配当金商品のオプションにも簡単に拡張できます。計算に含まれる各企業が年に 1 回か 2 回配当を支払う可能性がある指数のオプション (FTSE や CAC 40 など) の場合、配当は中断なく支払われると考えるのが合理的です。
一定期間にわたる配当金の支払い
- $$ {q \, S_t \, dt} $$
定数qの場合。この公式の下では、ブラック・ショールズモデルによる裁定なしの価格は次のように示されます。
- $$ {C(S,T)= e^{-qT}S_0 N(d_1) – e^{-rT}KN(d_2) \,} $$
- $$ {P(S,T)=e^{-rT}KN(-d_2) – e^{-qT}S_0 N(-d_1) \,} $$
今どこ：
- $$ {F = e^{(r-q)T}S_0 \,} $$
d 1とd 2に関して発生する修正先物価格です。この式は一般にBlack-Scholes-Mertonとして知られています。
外国為替レートのオプションを評価するためにまったく同じ式が使用されますが、 q が外国リスクフリー金利の役割を果たし、 S が即時為替レートの役割を担う点が異なります。これはGarman-Kohlhagen モデル(1983 年) です。
ブラック・ショールズの枠組みを、個別の配当を支払う商品のオプションに拡張することも可能です。これは、オプションが単純なアクションに基づいている場合に便利です。
典型的なモデルは、所定の日付T 1 、 T 2 …に配当として支払われる株式の価格 (コース) の割合δを仮定する必要があります。
株価は次のようにモデル化されます。
ここで、 n ( t ) は、時刻tに支払われた配当の数です。
このような株式のコールオプションの価格は依然として次のとおりです。
- $$ {C(S_0,K,r,T,q,\sigma) = FN(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2) \,} $$
- $$ {P(S_0,K,r,T,q,\sigma) = Ke^{-rT}N(-d_2)-FN(-d_1) \,} $$
今どこ：
- $$ {F = S_0(1-\delta)^{n(T)}e^{rT} \,} $$
配当金を受け取る株式の前払い価格です。
アメリカのオプションを評価することはさらに難しく、モデルの選択肢の 1 つは、(たとえば) Whaley (二項オプション モデル) です。
