導入
数学では、有理数の周期的小数展開は、無限に繰り返される数字のブロックを示すことによって、この数の小数点以下の順序を説明する記述です。このブロック、またはピリオドは1 つ以上の数字で構成され、同じ数字が同じブロック内に複数回出現する可能性があります。この数値ブロックの小数は、循環小数と呼ばれることもあります。
導入例
商 4/3 を評価するために、電卓は通常、数値 1、小数点区切り記号 (ポイントまたはカンマ)、およびいくつかの数字 3 を表示します。ただし、次のように、1.333333333333 はこの商の近似値 ( 10 − 12以内) にすぎません。逆数演算の計算:
- $$ {1,333333333333 \times 3 = 3,999999999999 \neq 4 } $$。
この例に適用される除算アルゴリズムは、各ステップで剰余 1 を生成します。これを 10 倍して 3 で割ると、整数の商 3 が生成され、再び剰余 1 が生成されます。
したがって、商 4/3 を 10 進数表記で正確に書くには、数字 3 を無限に繰り返す必要があります。他の有理数の場合は、他の桁、または複数の桁のブロックを繰り返す必要があります。これらのブロックの前に、繰り返されない小数点以下 1 桁以上のブロックを置くこともできます。
周期展開と有理数
有理数の 10 進表記
分数で表された有理数を10 進数に変換するという考え方で、割り算を使用できます。たとえば、有理数 5/74 について考えてみましょう。
| 5、 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 74 |
| 4 | 4 | 4 | 0.06756… | ||||
| 5 | 6 | 0 | |||||
| 5 | 1 | 8 | |||||
| 4 | 2 | 0 | |||||
| 3 | 7 | 0 | |||||
| 5 | 0 | 0 |
など。各ステップで剰余があることがわかります。上に示した連続する剰余は 56、42、50 です。剰余 50 に達して「0」を下げると、再び 500 を 74 で割ります。これは最初と同じ問題です。したがって、小数は 0.0675675 675 … と繰り返され、結果は予測可能です。可能な残りは 0、1、2、…、73 のみです (この場合は 74 です)。すでに取得されている残りが見つかるとすぐに、シーケンス全体が繰り返されます。
この例では、次のプロパティを強調表示します。
10 進表記— 2 つの整数の商は有限または周期的な 10 進表記になります。
商を既約形式、つまり次の形式にすると、
例
- $$ { \frac{45}{160}=0,28125} $$
- $$ { \frac{43}{26} = 1,6\underline{538461}} $$
- $$ { \frac{43}{130}=0,3\underline{307692}} $$
- $$ {\frac{4}{13}=0,\underline{307692}} $$
- $$ {\frac47=0,\underline{571428}} $$
小数展開は有限または周期的です。 a をbで除算すると、剰余は常に厳密に商より小さいため、各ステップで考えられる剰余はb個だけです。除算は最初のゼロ剰余で停止します。剰余がゼロの場合、商は有限の小数表記になります。そうでない場合は、 a = b N + r 0を設定し、 10 r kをbで除算し、商a k + 1と剰余r k + 1を求めます。商
bが 2 と 5 の累乗の積である場合、商は小数になります。 b = 2 k 5 mの場合、
期間の長さはb-1以下です。 2 つの剰余は最初のbステップで見つかったので、 k + ℓ はb – 1以下になります (最初のステップ: r 0の計算)。
期間の長さは b にのみ依存します。もし
bと 10 が互いに素の場合、ピリオドは小数点の直後から始まります。さまざまな剰余r i は、 10 i r 0をbでユークリッド除算した剰余です。もし
周期展開の分数書き込み
1 より小さい数値の周期展開の場合、周期が小数点の直後から始まる場合、その数値に 10 の正しい累乗を乗算して、小数点の前の周期を完全にシフトする手法です。引き算を行うと、小数部分が消去されます。
例 ：
- $$ {x=0,2121\cdots=0,\underline{21}} $$
- $$ { 100x=21,2121\cdots =21,\underline{21}} $$
- $$ {100x-x = 21 \Leftrightarrow x=\frac{21}{99}=\frac{7}{33}} $$
ピリオドが小数点の直後から始まらない場合は、数値に 10 の正しい累乗を掛けて小数点の直後から周期的な小数展開を開始し、小数部で前述の方法を使用する必要があります。
例 ：
- $$ {x=3,52121\cdots=3,5\underline{21}} $$
- $$ { 10x=35,2121\cdots =35+0,\underline{21}} $$
- $$ {10x= 35+\frac{7}{33}= \frac{1162}{33}} $$
- $$ {x= \frac{1162}{330}= \dfrac{581}{165}} $$
このアルゴリズムを一般化すると、次の結果が得られます。
10進数の場合
10 進数は、限られた小数展開が許容される数値、つまり、ゼロ以外の有限の小数桁のみで構成される数値です。
たとえば、0.9999…= 0.9の場合、繰り返しの小数から分数を計算する方法では、明らかな矛盾が生じます。
1=0.999… という等式は、素朴な方法で疑問視されることがあります。 2 つの実数が別個である場合、その間には (厳密には) 他の実数が無限に存在する、というのが良い議論です。ただし、0.9999 9 (9 の無限大) と 1 の間には他の実数は存在しません。したがって、これは 2 つの異なる方法で書かれた、まったく同じ実数です。
上記の2番目のステップでは、10.x は 0.99 9ではなく 9.9999…0 であると主張する人もいます。しかしそうではありません。右辺は終わりません (繰り返します)。したがって、ゼロを見つけることができる終わりはありません。
0.9999… の形式で 1 を書き込むと、数値の 10 進表記の一意性の問題が生じます。 0.999…. の形式で記述すると、不適切な 10 進展開とみなされます。しかし、それは決して書かなければならないという意味ではありません。実際、たとえば 1/3 を 10 進数で書くと次の等式が得られます。
- $$ {x = \frac 13 =0,333\cdots = 0,\underline3} $$
- $$ {3x=3\times 0,3333… = 0,999….=0,\underline{9} = 1} $$
または、もう一度、 1 – xの小数展開を決定する場合、 xのことを知っていれば、 0.999… という形式の方が適しています。
- x = 0.52121…= 0.5 21
- 1- x = 0.99999…- 0.52121…= 0.47878…=0.4 78
この等価性の他の証明については、「小数単位の展開」の記事を参照してください。この例で実行される推論は、他の任意の 10 進数、したがって特に任意の整数に対して実行できます。結論は次のとおりです。
10 進数の周期 10 進展開—すべての 10 進数には 2 つの周期 10 進展開が許可されます。1 つは周期が 9、もう 1 つは周期が 0 です。
