導入
確率において、確率過程は、過去の状態と現在の状態が与えられた場合に、将来の状態の条件付き確率分布が実際に現在の状態のみに依存し、過去の状態には依存しない（「記憶」が存在しない）場合に限り、マルコフ特性を満たします。 。この性質を持つプロセスはマルコフプロセスと呼ばれます。このようなプロセスでは、過去と現在を知っている場合に将来について行うことができる最良の予測は、現在だけを知っている場合に将来について行うことができる最良の予測と同じです。つまり、現在を知っていれば、過去の知識も同じです。将来の予測に役立つ追加情報を提供しないこと。
弱いマルコフ特性 (離散時間、離散空間)
意味
これはマルコフ連鎖の特徴的な性質です。基本的に、現在から未来を予測することは、過去に関する追加情報によってより正確になることはありません。なぜなら、未来の予測に役立つすべての情報は現在の状態に含まれているからです。プロセス。弱いマルコフ特性にはいくつかの等価な形式があり、それらはすべて次の条件法則を述べていることになります。
$$ {\scriptstyle\ X_{n+1}\ } $$
過去を知る、つまり知ること$$ {\scriptstyle\ \left(X_k\right)_{0\le k\le n}\ } $$
の関数です$$ {\scriptstyle\ X_n\ } $$
一人で ：「初歩的な」弱いマルコフ特性—すべてに
$$ {\scriptstyle\ n\ge 0,\ } $$
任意の状態シーケンスに対して$$ {\scriptstyle\ (i_0,\ldots,i_{n-1},i,j)\in E^{n+2},\ } $$
私たちはほとんどの場合、均一なマルコフ連鎖を仮定します。つまり、遷移メカニズムは時間の経過とともに変化しないと仮定します。弱いマルコフ特性は次の形式になります。
- $$ {\forall n\ge 0, \forall (i_0,\ldots,i_{n-1},i,j) \in E^{n+2},} $$
- $$ {\mathbb{P}\Big(X_{n+1}=j \mid\, X_0=i_0, X_1=i_1,\ldots, X_{n-1}=i_{n-1},X_n=i\Big) = \mathbb{P}\left(X_{1}=j\mid X_0=i\right). } $$
弱いマルコフ特性のこの形式は、前の形式よりも強力であり、特に次のような結果につながります。
- $$ {\forall n\ge 0, \forall (i,j)\in E^{2},\qquad\mathbb{P}\left(X_{n+1}=j\mid X_n=i\right) = \mathbb{P}\left(X_{1}=j\mid X_0=i\right).} $$
この記事の残りの部分では、同種マルコフ連鎖のみを考慮します。不均一マルコフ連鎖の組み合わせ最適化への興味深い応用については、「シミュレーテッド アニーリング」の記事を参照してください。
同種マルコフ連鎖の弱いマルコフ特性には別の形式があり、前の形式よりもはるかに一般的ですが、それでも前の形式と同等です。
「一般」の弱いマルコフ特性—任意の選択に対して
$$ {\scriptstyle\ n\ge 0,\quad B\in \mathcal P(E)^{\otimes{\mathbb N}},\quad A\in \mathcal P(E^{n+1}),\quad i\in E,} $$
- $$ {{\mathbb P}((X_{n}, X_{n+1}, \dots ) \in B\,|\,(X_0,\dots,X_{n}) \in A, X_n=i) \;=\;{\mathbb P}((X_{0}, X_{1}, \dots )\in B\,|\, X_0=i).} $$
過去の出来事に注意してください
$$ {\scriptstyle\ \{(X_0,\dots,X_{n}) \in A\}\ } $$
そして未来$$ {\scriptstyle\ \{(X_{n}, X_{n+1}, \dots ) \in B\}\ } $$
ここでは可能な限り最も一般的な形式をとりますが、現在のイベントは$$ {\scriptstyle\ \{X_n=i\}\ } $$
偶然ではなく、特定の形で残ります。 $$ {\scriptstyle\ \{X_n=i\}\ } $$
による$$ {\scriptstyle\ \{X_n\in C\}\ } $$
上記のステートメントでは、過去に関する情報が現在を予測するのに役立つため、このステートメントは一般的に偽になります (ただし、 $$ {\scriptstyle\ X_n\ } $$
より正確には、部品の内部で見つけることができますか$$ {\scriptstyle\ C\ } $$
?)、そこから未来を予測します。 ランダムウォークの反例$$ {\scriptstyle\ \mathbb{Z}\ } $$
:もし
$$ {\scriptstyle\ E=\mathbb{Z}\ } $$
そして$$ {\scriptstyle\ p_{i,i+1}=1-p_{i,i-1}=p,\ } $$
ランダムウォークについて話します$$ {\scriptstyle\ \mathbb{Z}.\ } $$
次のように仮定します。 $$ {\scriptstyle\ p\in]0,1[.\ } $$
したがって、たとえば、 - $$ {\mathbb{P}_{\mu}(X_{n+1}=1\ |\ X_n\in\{0,1\}\text{ et }X_{n-1}=0)=0,\ } $$
私たちは簡単に見つけることができますが、
$$ {\scriptstyle\ \mu\ } $$
そして$$ {\scriptstyle\ n\ } $$
のような$$ {\mathbb{P}_{\mu}(X_{n+1}=1\ |\ X_n\in\{0,1\})>0.\ } $$
したがって、不正確な知識により（
$$ {\scriptstyle\ \{X_n\in \{0,1\}\}\ } $$
) 現在、過去に関する特定の情報により、予後を改善することが可能になります。X n-1 = 0 がわかっているため、 X n はゼロではないと推測され、したがってX n は1 に等しいと結論付けられます。 n+1 を1 に等しくすることはできません。一方、 X n-1 = 0という情報がなければ、 X n+1が 1 に等しいことを除外できません。ただし、ランダムウォークは
$$ {\scriptstyle\ \mathbb{Z}\ } $$
はマルコフ連鎖であり、実際にマルコフ特性を持っています。ここに矛盾はありません。マルコフの性質は、現在の正確な知識 ( X n = i ) があれば、過去に関する情報がなくても予後を改善できると述べています。時間停止の概念に関連する があります。この強力なマルコフ特性は、重要な結果 (さまざまな反復基準、マルコフ連鎖の強力な大数の法則) を実証するために重要です。
条件付き独立性
「一般的な」弱いマルコフ特性は、次のことを意味します。
条件付き独立性—任意の選択に対して
$$ {\scriptstyle\ n\ge 0,\quad B\in \mathcal P(E)^{\otimes{\mathbb N}},\quad A\in \mathcal P(E^{n+1}),\quad i\in E,} $$
- $$ {{\mathbb P}((X_{n}, X_{n+1}, \dots ) \in B\text{ et } (X_0,\dots,X_{n}) \in A\ |\ X_n=i)} $$
- $$ {=\;{\mathbb P}((X_{n}, X_{n+1}, \dots ) \in B\ |\ X_n=i)\times{\mathbb P}((X_0,\dots,X_{n}) \in A\ |\ X_n=i). } $$
この等式は、現在を知っている（それを知っている）、過去と未来の間の条件付き独立性を表します。
$$ {\scriptstyle\ X_n=i\ } $$
）。ただし、上記の「一般的な」弱いマルコフ特性と比較すると、均一性特性が失われていることがわかります。「一般的な」弱いマルコフ特性は、実際にはより強い特性と同等です。条件付きの独立性と均一性—あらゆる選択に対して
$$ {\scriptstyle\ n\ge 0,\quad B\in \mathcal P(E)^{\otimes{\mathbb N}},\quad A\in \mathcal P(E^{n+1}),\quad i\in E,} $$
- $$ {{\mathbb P}((X_{n}, X_{n+1}, \dots ) \in B\text{ et } (X_0,\dots,X_{n}) \in A\ |\ X_n=i)} $$
- $$ { =\; {\mathbb P}((X_{0}, X_{1}, \dots )\in B\ |\ X_0=i)\times{\mathbb P}((X_0,\dots,X_{n}) \in A\ |\ X_n=i). } $$
基準
基本的な基準—シーケンスのいずれか
$$ {\scriptstyle\ Y=(Y_{n})_{n\ge 0}\ } $$
独立した確率変数と同じ法則、空間内の値を持つ$$ {\scriptstyle\ F\ } $$
、およびいずれか$$ {\scriptstyle\ f\ } $$
測定可能なアプリケーション$$ {\scriptstyle\ E\times F\ } $$
で$$ {\scriptstyle\ E.\ } $$
次のシーケンスがあるとします。 $$ {\scriptstyle\ X=(X_{n})_{n\ge 0}\ } $$
は漸化関係によって定義されます。 - $$ {\forall n\ge 0,\qquad X_{n+1}=f\left(X_n,Y_{n}\right),} $$
そして次のシーケンスがあると仮定します
$$ {\scriptstyle\ Y\ } $$
から独立しています$$ {\scriptstyle\ X_0.\ } $$
それで$$ {\scriptstyle\ X\ } $$
は同種マルコフ連鎖です。ステッカーコレクター（コレクタークーポン）：
プティ・ピエールは、サッカー代表チームの 11 人の選手のポートレートを収集しており、セモワのチョコレート バーのパッケージ内のステッカーにそれらのポートレートが貼られているのを見つけます。彼がタブレットを購入するたびに、11 分の 1 の確率で選手番号 2 の肖像画に遭遇します。
$$ {\scriptstyle\ k\ } $$
(すべてについて$$ {\scriptstyle\ k\ } $$
）。注意します$$ {\scriptstyle\ X_{n}\in\mathcal{P}([\![ 1,11]\!])\ } $$
プティ・ピエールのコレクションの梱包を開けた後の状態$$ {\scriptstyle\ n\ } $$
– 番目のチョコレートバー。 $$ {\scriptstyle\ X=(X_{n})_{n\ge 0}\ } $$
は次から始まるマルコフ連鎖です$$ {\scriptstyle\ X_{0}=\emptyset\ } $$
、それは以前の選択の枠組みに適合するためです。 $$ {\scriptstyle\ F=[\![1,11]\!],\ E=\mathcal{P}(F),\ f(x,y)=x\cup\{y\},\ } $$
以来- $$ { X_{n+1}=X_n\cup\{Y_n\},} $$
ここで、確率変数は
$$ {\scriptstyle\ Y_{n}\ } $$
は独立した一様な確率変数です。 $$ {\scriptstyle\ [\![1,11]\!]\ } $$
: これらはチョコレートバーから取られたシールの連続番号です。コレクションを完成させるのに必要な平均時間 (ここでは、プティ・ピエールがコレクションを完成させるために平均して購入しなければならない錠剤の数) は、 $$ {\scriptstyle\ N\ } $$
合計サムネイル、 $$ {\scriptstyle\ N\,H_N,\ } $$
または$$ {\scriptstyle\ H_N\ } $$
です$$ {\scriptstyle\ N\ } $$
-次高調波番号。例えば、 $$ {\scriptstyle\ 11\,H_{11}=33,2\dots\quad } $$
チョコレートバー。備考：
- マルコフ特性は、次の独立性から生じます。 $$ {\scriptstyle\ Y_i\ ;\ } $$次の場合は true のままです。$$ {\scriptstyle\ Y_i\ } $$異なる法則があり、「再帰関係」が成立するとき$$ {\scriptstyle\ X_{n+1}=f_n\left(X_n,Y_{n}\right)\ } $$に依存します$$ {\scriptstyle\ n.\ } $$独立性に加えて行われる仮定は、マルコフ連鎖の均一性を保証するためだけに存在します。
- この基準は、次の形式の反復によって均質なマルコフ連鎖を正確にシミュレートできるという点で基本的です。 $$ {\scriptstyle\ X_{n+1}=f\left(X_n,Y_{n}\right),\ } $$機能のために$$ {\scriptstyle\ f\ } $$よく選ばれました。より正確に言えば、$$ {\scriptstyle\ X=(X_{n})_{n\ge 0}\ } $$は同次マルコフ連鎖であり、5 つの要素が存在します。$$ {\scriptstyle\ (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P},X^{\prime}_0,Y),\ } $$または$$ {\scriptstyle\ (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\ } $$は確率空間を表し、$$ {\scriptstyle\ X^{\prime}_0\ } $$の値を持つ確率変数です。$$ {\scriptstyle\ E\ } $$そしてどこで$$ {\scriptstyle\ Y=(Y_{n})_{n\ge 0}\ } $$の値を持つ一連の iid 確率変数です。$$ {\scriptstyle\ F,\ \ } $$$$ {\scriptstyle\ X^{\prime}_0\ } $$そして$$ {\scriptstyle\ Y\ } $$に定義されている$$ {\scriptstyle\ (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\ } $$独立していてアプリケーションがあります$$ {\scriptstyle\ f\ \ } $$によって定義される$$ {\scriptstyle\ E\times F\ } $$で$$ {\scriptstyle\ E,\ } $$次のような$$ {\scriptstyle\ X^{\prime}=(X^{\prime}_{n})_{n\ge 0}\ } $$によって定義される
- $$ { X^{\prime}_{n+1}=f(X^{\prime}_n,Y_n)} $$
- 他と同じ法則がある$$ {\scriptstyle\ X=(X_{n})_{n\ge 0}.\ } $$
- 選択することもできます$$ {\scriptstyle\ F=[0,1],\ } $$そして変数を選択します$$ {\scriptstyle\ Y_{j}\ } $$これは、モンテカルロ法によるマルコフ連鎖の研究、つまりマルコフ連鎖の「典型的な」軌道のシミュレーションによるマルコフ連鎖の研究に便利です。
参考資料
- Markov-eienskap – afrikaans
- خاصية ماركوف – arabe
- Марковско свойство – bulgare
- Propietat de Màrkov – catalan
- Markow-Eigenschaft – allemand
- Markov property – anglais