不適切な積分は、積分における限界への通過の形式によって定義される、通常の積分の拡張を指定します。私たちは通常、不適切な積分を真の積分や定積分と区別することなく注目します。
- $$ {\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt} $$
は、収束不適切積分の非常に古典的な例ですが、通常の積分 (区分的連続関数の積分、リーマン積分、ルベーグの積分など) の意味では定義されていません。
実際には、不適切な積分の収束の研究を実行することになります。
それぞれの場合において、2 つの限界値のいずれかの関数として定義された積分を評価し、引数が限界値に向かう傾向があるときに得られる関数の限界値を取得します。
仮積分は、定積分と多くの基本的な性質を共有します。限界積分反転結果を書き込むことはできません。
連続関数の不適切な積分
意味
どちらか
$$ {f :\ [a, b[ \ \longrightarrow \ \mathbb{R}} $$
連続関数。限界なら
$$ {\lim_{x \rightarrow b^{-}} \int_a^x f(t)dt} $$
が存在し、有限である場合、これを[ a , b [にわたるfの不適切な積分極限] と呼びます。同様に、どちらか
$$ {f :\ ]a, b] \ \longrightarrow \ \mathbb{R}} $$
連続関数。限界なら
$$ {\lim_{x \rightarrow a^{+}} \int_x^b f(t)dt} $$
が存在し、有限である場合、このfの不適切な積分極限を] a 、 b ]と呼びます。どちらの場合も、この制限に注意してください
$$ {\int_a^b f(t) dt} $$
限界が存在し、有限である場合、次のように言います。
$$ {\int_a^b f(t) dt} $$
収束する、そうでない場合は発散すると言います。定積分との互換性: f が実際にセグメント[a,b]上で連続である場合、これらの定義により、 fの定積分を計算した場合と同じ値が得られます。
チャスルの関係
どちらか
$$ {f :\ [a, b[ \ \longrightarrow \ \mathbb{R}} $$
連続関数。それで
$$ {\forall (x, c) \in [a, b[^2} $$
$$ {\int_a^x f(t) dt \ =\ \int_a^c f(t) dt + \int_c^x f(t) dt} $$
$$ {\lim_{x \rightarrow b} \int_c^x f(t) dt\} $$
そして$$ {\ \lim_{x \rightarrow b} \int_a^x f(t) dt} $$
同じ性質のものですさらに、
$$ {\exists c \in [a, b[} $$
のような$$ {\int_c^b f(t) dt} $$
収束するそれで
$$ {\forall d \in [a, b[, \int_d^b f(t) dt} $$
収束するそして
$$ {\int_c^b f(t) dt\ =\ \int_c^d f(t) dt\ +\ \int_d^b f(t) dt} $$
両側の不適切な積分
どちらか
$$ {f :\ ]a, b[\ \longrightarrow\ \mathbb{R}} $$
続く] a 、 b [どちらか
$$ {c \in ]a, b[} $$
修理済みチャスルズの記述は次のことを示しています。
- もし$$ {\int_c^b f(t) dt} $$収束する
- それで$$ {\forall d \in ]a, b[, \int_d^b f(t) dt} $$収束し、
- $$ {\int_c^b f(t) dt\ =\ \int_c^d f(t) dt\ +\ \int_d^b f(t) dt} $$
- もし
- もし$$ {\int_a^c f(t) dt} $$収束する
- それで$$ {\forall d \in ]a, b[, \int_a^d f(t) dt} $$収束し、
- $$ {\int_a^c f(t) dt\ =\ \int_a^d f(t) dt\ +\ \int_d^c f(t) dt} $$
- もし
これら 2 つの条件が検証されると、 fの不適切な積分を] a , b [ の和と呼びます。
$$ {\int_a^b f(t) dt\ =\ \int_a^d f(t) dt\ +\ \int_d^b f(t) dt} $$
