実際の解析では、リーマン積分は区間にわたる関数の積分を定義する簡単な方法です。幾何学的用語では、この積分は、代数的に数えられた、関数を表す曲線の下の領域の面積として解釈されます。
リーマン積分を定義するために使用される一般的な方法は、階段関数による近似であり、曲線の下の領域の定義が簡単です。この定義が可能な関数は、リーマンの意味で積分可能であると言われます。これは、区分連続関数、またはセグメント[a,b]で調整された連続関数の場合に特に当てはまります。
ルベーグ積分 を導入することにより、特に極限への通過に関して、より一般的でより満足のいく積分プロセスが得られます。
積分の定義
階段機能
E をセグメント [ a , b ] の任意のサブセットとする。 x がE に属する場合は 1、 x がEに属さない場合は 0 となる関数をχ Eとします。χ Eは E の指標関数または E の特性関数と呼ばれます。
これらの関数が私たちの出発点であり、次のように提起します。
- [ a , b ] に含まれる任意のセグメント [ c , d ] および任意の定数z ≥0 について、 $$ {\int z \chi_{[c,d]}(x)\,\mathrm d x = z(d-c)} $$。
この場合、この関数の曲線の下の面積は、底辺 [ c , d ] と高さzの長方形の面積に等しくなります。
同様に、このような関数を使ったいくつかの幾何学的実験により、 f 1 、 f 2 、…、 f n が互いに素な区間上のn指標関数であり、 a 1 、 a 2 、…、 a nである場合、次のように考えることができます。が正のスカラーの場合、関数の曲線の下の領域の面積
- $$ {f=a_1f_1+a_2f_2+\cdots+a_nf_n} $$
と等しくなければなりません
- $$ {\int f = a_1 \int f_1 + a_2 \int f_2 + \cdots + a_n \int f_n} $$
この形式の関数は、インジケーター関数の線形結合、または単にステップ関数と呼ばれます。ここで、ステップ関数の積分を決定したことに注目してください。
ここで、一部の係数a jが負の場合でも前の式が有効であると述べることで、ショートカットを実行します。
リーマン積分とルベーグ積分の決定的な違いは、ルベーグ積分のステップ関数が、必ずしも区間ではない集合上の指標関数の線形結合であることです。
もちろん、階段関数よりも大きなクラスの関数の積分を計算できるようにするには、さらに努力する必要があります。また、ルベーグ積分ではより大きな和は使用されず、積分を負の値をとる可能性のある関数に拡張する前に、正の関数が最初に処理されることにも注意してください。
一般的な定義
f を[a;b]に続けましょう。どちらか
- $$ {\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = \lim_{\underset{\scriptstyle\Delta x_i\to0}{n\to\infty}}\ \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i} $$
実数値関数: 下位積分と上位積分
幾何学的な観察から、単にドメイン S f [ref.必要な] はS gのサブセットです[ref.必要である] (少なくとも正の関数の場合、これは明らかです。)、 f が[ a , b ] のすべてのxについて満足する場合、 f ( x ) ≤ g ( x ) であることを課します。
- $$ {\int f \le \int g} $$
この性質を積分の成長と呼びます。
ステップ関数の積分を定義し、単調性条件を課すことで、任意の正の値を持つ関数を積分できます。 f を[ a , b ] で定義された実数値関数とし、 l をすべてのxに対してl ( x ) ≤ f ( x ) となるステップ関数とします。さらに、 u を、すべてのxについて、 u ( x ) ≥ f ( x ) となるステップ関数とします。単調性条件に従って ∫ f に値を与える場合、次のようになります。
- $$ {\int l \le \int f \le \int u} $$
積分 ∫ l はfの下位和と呼ばれ、積分 ∫ u はfの上位和と呼ばれます。前の不等式はf の上下のすべての合計に当てはまらなければならないため、別の不等式を推定できます。
- $$ {\sup_l\int l\le\int f\le \inf_u\int u} $$
ここで、 sup l ∫ l はすべての下限和の上限であり、 inf u ∫ uはすべての上限和の下限です (上限と下限を参照)。数値sup l ∫ l はfの下限積分と呼ばれることもあります。 ;同様に、数値 inf u ∫ uは高次積分と呼ばれます。
上位積分と下位積分が等しい場合、∫ f を定義する方法は 1 つだけです。下位積分が上位積分より大きいことは起こり得ません (読者が確認できるように、構造上)。しかし、上位積分が下位積分と等しくないことは起こり得ます。たとえば、読者はインジケーター関数についてこれを確認できます。
- χQ
ここで、 Q はセグメント [ a , b ] 内の有理数の集合であり、 a < bであり、下位の積分は 0 に等しく、上位の積分はb − a >0 に等しくなります。
下限積分と上積分が有限で等しいすべての関数は、リーマンまたはリーマン可積分という意味での可積分関数のセットを構成します。一方、下位積分と上積分が異なる関数は、リーマンの意味で積分不可能であると言われます。この記事の文脈では、リーマンの意味での「可積分性」について話していることを承知した上で、可積分可能または不可積分と言っておきます。
ステップ関数の積分値がその上限積分値と下限積分値に等しいことを確認できます。
プロパティ
これは、リーマン積分の構築の第一原理から証明できます。
この証明は、セグメント上の連続関数が一様連続であるという事実に基づいています。
有界条件f は省略できません。
定理 4 (セグメント上の一様収束) の仮定は非常に強力です。リーマン積分の最初の困難は、これらの仮説を還元しようとするときに発生します。実際、数値列 (∫ f k ) は、定理が示唆するよりも頻繁に数値 ∫ fに収束しますが、この集合でそれを証明することは非常に困難です。より強力な定理を得る最良の方法は、ルベーグ積分を使用することです。
リーマン積分に関するもう 1 つの問題は、リーマン積分が無制限の区間に簡単に拡張できないことです。関数f を-∞ から +∞ まで積分したい場合、次のように計算できます。
- $$ {\lim_{n\to+\infty} \int_{-n}^n f(x)\mathrm dx} $$
ただし、一部の特性 (変換不変性、被積分関数f を変換してもリーマン積分が変化しないという事実など) は保持されなくなりました。実際、このような積分では定理 4 が偽となり、積分と組み合わせて極限を使用することが非常に困難になります。このような積分は不適正積分と呼ばれます。もう一度言いますが、ルベーグの統合により、これらの問題は軽減されます。