導入
物理学における対称性の概念は、不変性とも呼ばれ、記述の観点からは同じ物理システムをいくつかの異なる観点から考察する可能性を指しますが、その進化に関する予測の観点からは同等です。
この記事の目的は、物理学で遭遇する主な対称性のタイプを概説し、その正式な実装を簡単に説明し、最後に実際の実証を複雑にする可能性がある、本質的に対称性が破られるメカニズムを提示することです。
物理学における対称性の概念の歴史
対称性の概念の状況は大幅に進化しました。最初は物理システムの特性として認識され、その後、これらのシステムの進化を支配する方程式の新しい解を生成するための理論的方法として使用され (したがって、リー群の概念が導入されました)、そして最終的には、 20世紀に入り、対称性の概念はさらに根本的な重要性を帯びるようになりました。この時代以来、量子論は常に主にその基礎となる対称性によって定義されてきました。
対称性の種類
物理学で現れる対称性の区別には 3 つのタイプがあります。
- 1 つ目は、離散対称性と連続対称性の区別であり、対称性を形式的に記述するために使用される群の数学的構造を指します。
- 最後の、内部対称性と時空対称性の区別は、対称性が作用する対象を指します。それが電磁場のような物理的な物体の場合、内部対称性について話します。物理的オブジェクトが浸漬されている空間に対称性が作用する場合、私たちは時空対称性について話します。
離散対称性
許可された変換操作のセットが有限セットを構成する場合、対称性は離散的であると言われます。たとえば、結晶はほとんどの場合、結晶群と呼ばれる個別の対称群を持っています。量子力学では他の離散対称性も重要です。これらは電荷共役、パリティ、時間反転の対称性であり、これらの対称性により、量子理論はこれら 3 つの対称性の積の下で不変でなければならないと主張する CPT定理を表現することができます。
連続的な対称性
直感的には、対称性を決定するパラメーターが連続的に変化する場合、対称性は連続的であると言われます。これは、たとえば空間内の回転のグループに関連する回転対称の場合です。後者は、実際に連続的に変化する 3 つのオイラー角によってパラメータ化されます。
連続対称性の記述の基礎となる数学的構造は、回転群がその例であるリー群の理論です。
大域的対称性
システムのすべての点で同じ変換を実行して同等の構成に到達する場合、対称性はグローバルであり、依然として剛体であると言われます。たとえば、2 つの物体間に作用するニュートンの万有引力法則は、2 つの物体に対して同じ回転または平行移動を実行しても変化しません。したがって、万有引力の法則は、回転と並進の全体的な変換の下では不変であると言えます。
局所対称性
理論がより大きな対称性を認め、空間内の各点で異なる変換を実行できるようにすることが時々起こります。この現象が発生すると、局所対称性について話します。
局所対称性の最初に知られている例は、電磁気の場合です。実際、マクスウェル方程式は、任意の関数の時間に関する微分によって電位を同時に変化させたとき、およびこの同じ関数の勾配によってベクトルポテンシャルを変化させたときにも変化しません。この関数が時間と空間に応じて変化する場合、各時点で異なる変換を実行します。しかし、方程式は変わらず、物理的な結論も同じままです。これらの変換を構築するために使用される任意の関数は、数学的に示される電磁気の局所対称群をパラメータ化します。
先ほど見たケースでは、使用された対称性が理論のフィールドに作用しました。したがって、それは内部対称性であり、この場合はゲージ不変性について話しています。したがって、電磁気学はゲージ理論の一例です。
たとえば翻訳の場合のように、時空の対称性を扱う場合、技術的な観点から見ると、状況はもう少し複雑になります。この対称性も局所的であり、時空の再パラメータ化によって不変性を持つという理論であれば、やはり一般共分散について話し、これが一般相対性理論となります。万有引力の法則は、グローバル変換では不変ですが、ローカル変換では不変です。したがって、一般相対性理論は、それが不変である一連の変換を拡大したニュートン重力の拡張として見ることができます。
私たちが見た 2 つのケースは、離散対称グループに対応していました。よりエキゾチックなケースは、弦理論におけるオービフォールドの構築であり、これにより、離散対称に対する局所対称の例を構築できます。
