初等確率における独立性 – 定義

出来事や経験の独立性の研究は、出来事や経験が相互に関連しているのか、それとも独立して起こっているのかを調査することから構成されます（飲酒と事故を起こすことは互いに独立していないと考えるのが合理的です）。確率は、統計における独立性の概念から独立性の定義を構築しました。つまり、統計的特性は性別に依存しません。たとえば、特性の分布が同一である場合、総母集団、男性集団、女性集団のいずれを採用するかに関係ありません。

イベントの独立性

A と B が確率がゼロではない 2 つのイベントである場合、次の場合に A と B は独立していると言います。

p ( B ) = pA ( B ₎ (全宇宙における B の分布は、部分宇宙 A における B の分布と同じです)

A が与えられた場合の B の条件付き確率の定義:

• $$ {p(A\cap B)=p(A).p(B)} $$
• p ( A ) ₌ pB ( A )

注: A が B を知っている確率は、p(A|B) と書くこともできます。

例 1 : バランスの取れたサイコロの目で、イベント A「偶数を取得」と B「3 の倍数を取得」は独立したイベントです。実際、宇宙における偶数の分布 Ω={1; 2; 3; 4; 5; 6} は B = {3; の偶数の場合と同じです。 6}。

これを確率形式に変換すると、 _p ( A ) = pB ( A ) = 1/2となります。

また、単純にp(A) = 1/2、p(B) = 1/3 であることを観察することもできます。

一方、イベント A = “偶数を取得する” および C = “少なくとも 4 を取得する” = {​​4; 5;開始宇宙の偶数の分布は 1/2 であり、部分宇宙 C の分布は 2/3 であるため、6} は独立ではありません。

単純に次のことを観察することもできます

例 2 : 確率がゼロではない 2 つの互換性のないイベントは、決して独立ではありません。実際、それらの交差は空であり、交差の確率はゼロですが、p(A) も p(B) もゼロではありません。

例 3 : 2 つのイベント A と B が独立している場合、A と

$$ {p(A \cap \overline{B})=p(A) – p(A \cap B)} $$

$$ {p(A \cap \overline{B})= p(A) -p(A).p(B)} $$

$$ {p(A \cap \overline{B})= p(A) (1-p(B)) = p(A).p(\overline{B})} $$

経験の独立性

確率 p1 で宇宙 Ω1 の創造につながる実験 1 と、それに続く確率 p2 で宇宙 Ω2 の創造につながる実験 2 を考えます。 2 つの実験を続けると、Ω1 と Ω2 の要素のペアで構成される宇宙 Ω が作成されます。この宇宙は Ω1 × Ω2 と表されます。 Ω1 の任意のイベント A と Ω1 のイベント B について、p(A × B) = p1(A).p2(B) となるような、前の 2 つの実験の確率 p 積を Ω で作成できれば、実験は独立していると言えます。 Ω2.

例: 骨壷への交換を伴う 2 つの連続した抽出は、2 つの同一の独立した実験を構成します。コインとサイコロを連続して投げることは、2 つの独立した経験を構成します。置き換えることなく連続する 2 つの描画は 2 つの独立した経験を構成せず、2 番目の世界は最初の描画の結果に応じて変化します。

同一の独立した実験が連続して行われる最も典型的なケースは、二項法則の作成につながる n 回のベルヌーイ実験の連続です。

大数の法則では、n 回の独立した実験の連続も考慮します。

確率変数の独立性

有限宇宙_Ω上で定義された確率変数 X_およびYの場合、確率変数 X(Ω) と Y(Ω) のすべての y _jと呼びます。

連続確率変数 X と Y の独立性は、初等数学の範囲を超えています。 2 つの連続確率変数 X と Y は次の場合に独立します。

$$ {P[X \le x\ \ et Y \le y] = P[X \le x] . P[Y \le y]} $$

つまり

$$ {F_{X+Y}(x,y)=F_{X}(x).F_{Y}(y)\,} $$

。

確率変数が独立している場合、(X,Y) の共分散はゼロであり、V(X + Y) = V(X) + V(Y) であることを示します。