線形方程式系 – 定義

数学、特に線形代数では、線形方程式系は一連の線形方程式です。例えば ​​：

$$ {\begin{cases} 2x_1+\frac{3x_2}{2}+x_3=-1 \\ \frac{x_1}{2} + x_2 + 3x_3 = 4 \\2x_1+3x_2+\frac{x_3}{4}=3 \end{cases}} $$

問題は未知数の値を見つけることです

連立一次方程式の解は数学における最も古い問題に属し、デジタル信号の処理や数値解析における非線形問題の近似など、多くの分野で使用されます。連立一次方程式を解く効率的な方法は、ガウス・ジョルダン消去法、コレスキー分解、またはLU 分解によって得られます。単純な場合には、クラマーの法則も適用できます。

一般に、 n 個の未知数を含むm 個の線形方程式系は、次の形式で記述できます。

$$ {\left\{\begin{matrix} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+…+a_{1,n}x_n = b_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+…+a_{2,n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+…+a_{m,n}x_n = b_m\end{matrix}\right.} $$

ここで、 x ₁ 、…、 x _{n は}未知数であり、数値a _{i 、 j は}システムの係数です。

連立一次方程式は行列形式で記述することもできます。

A x = b

と ：

$$ {A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{bmatrix}} $$

;

$$ {x=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}} $$

そして

$$ {b=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}} $$

前述のガウス ジョルダン消去法は、係数が任意のフィールドからのものであっても、これらすべてのシステムに適用されます。場が無限である場合 (実数と複素数の場合のように)、任意の線形方程式系で考えられるのは次の 3 つのケースのみです。

• システムには解決策がありません。
• このシステムには独自のタプルソリューションがあります。
• システムには無限に多くのタプル ソリューションがあります。

次の形式のシステム:

$$ {Ax=0 \,} $$

は同次一次方程式系と呼ばれます。すべての均質システムでは、少なくとも 1 つの解決策が許容されます。

$$ {x_1=0 \ ; \ x_2=0 \ ; \ … \ ; \ x_n=0} $$

この解決策は、 nullまたは自明な解決策です。均質系では、系に含まれる方程式が未知数よりも少ない場合、無限の解が可能になります。