導入
進化の後期段階で、太陽質量 0.17 ～ 1.33 の質量を持つ星が崩壊すると、白色矮星が生じます。この星は古典的な星と同じくらい明るいですが、数桁小さいです。小さじ1杯の重さが数トンに達するほど圧縮されているため、その材料は変質していると言われています。質量が増加するほど、物質はより「縮退」し、圧力の影響で電子が原子核に近づきます。したがって、星が大質量であればあるほど、星は小さくなります。白色矮星の質量と半径の関係は、 1930 年に当時 20 歳だったインドの物理学者スブラマニャン チャンドラセカールによってボンベイへの汽船旅行中に確立されました。
おおよその関係
エネルギー最小化引数を使用すると、白色矮星型星の質量と半径の間にはおおよその関係があります。そのエネルギーは、重力エネルギーと内部運動エネルギー(本質的には電子のエネルギー) の合計を取ることで近似できます。白色矮星の単位質量部分の重力エネルギー ポテンシャルEは、次のオーダーになります。
- E = − GM/R 、
ここで、 G は重力定数、 M は白色矮星の質量、 R はその半径を表します。
単位質量E kの運動エネルギーは主に電子の動きから得られるため、おおよそ次のようになります。
- N p 2 /m 、
ここで、 p は電子の平均モーメント、 m はその質量、 N は単位質量あたりの電子の数を表します。
電子は縮退しているため、 p は瞬間の不確実性Δpのオーダーであると推定できます。これは、 Δp ∙ Δxがプランク定数の換算ħのオーダーであると仮定する不確定性原理によって与えられます。 Δx は電子間の平均距離程度であり、およそn -1/3 、つまり単位体積あたりの電子の密度nの立方根の逆数になります。白色矮星にはNM電子が存在し、その体積はR 3程度であるため、 n はNM / R 3程度になります。単位質量あたりの運動エネルギーE k を計算するには、次のことがわかります。
- $$ {E_k \approx \frac{N (\Delta p)^2}{m} \approx \frac{N \hbar^2 n^{2/3}}{m} \approx \frac{M^{2/3} N^{5/3} \hbar^2}{m R^2}.} $$
白色矮星は、そのすべてのエネルギーE g + E kが最小のときに平衡状態になります。この時点で、運動エネルギーと重力エネルギーは同等の絶対値を持っているため、次のように書くことで質量と半径のおおよその関係を推測できます。
- $$ {|E_g|\approx\frac{GM}{R} = E_k\approx\frac{M^{2/3} N^{5/3} \hbar^2}{m R^2}.} $$
半径Rの解は次のようになります。
- $$ { R \approx \frac{N^{5/3} \hbar^2}{m GM^{1/3}}} $$
白色矮星の組成と普遍定数のみに依存するN を放棄すると、質量と半径の関係が残ります。
- $$ {R \sim \frac{1}{M^{1/3}}, \,} $$、
つまり、白色矮星の半径はその質量の立方根に反比例します。この解析は運動エネルギーに非相対論的な公式p 2 /2mを使用するため、非相対論的です。白色矮星の電子の速度が光の速度cに近い状況を解析したい場合は、 p2 /2m を運動エネルギーの極端相対論的近似pcに置き換える必要があります。この置換により、次のことがわかります。
- $$ {E_{k\ {\rm relativiste}} \approx \frac{M^{1/3} N^{4/3} \hbar c}{R}.} $$
これを大きさE g を使って方程式に代入すると、 Rが消去され、質量Mは必然的に次のようになることがわかります。
- $$ {M_{\rm limite} \approx N^2 \left(\frac{\hbar c}{G}\right)^{3/2}.} $$
この結果を解釈するために、白色矮星に質量を追加すると、その半径が減少することを観察してみましょう。また、不確定性原理によれば、その瞬間、したがってその電子の速度は増加します。速度がc に近づくにつれて、極端相対論的解析はより正確になります。これは、白色矮星の質量MがM限界に近づく必要があることを意味します。結果として、白色矮星は質量制限Mlimitよりも重くなりません。
