フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー – 定義

宇宙論では、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量 ( FLRWと略されることが多い) は、膨張または収縮する局所的に均質で局所的に等方性の宇宙を記述するために使用される計量です。このモデルは、宇宙の標準宇宙モデルであるビッグバンへの最初の近似として使用されます。

地理的または歴史的な好みに応じて、FLRW モデルは、アレクサンダー フリードマン、ジョルジュ ルメートル、ハワード パーシー ロバートソン、アーサー ジェフリー ウォーカーの 4 人の科学者の名前で呼ばれることもあります。例:フリードマン-ロバートソン-ウォーカー(FRW) またはロバートソン-ウォーカー(RW)。

FLRW メトリクスを使用して宇宙を説明する

FLRW モデルは宇宙が均質であると仮定しているため、ビッグバン モデルでは宇宙に存在する密度変動を説明できないと結論付ける人もいるかもしれません。実際、厳密な FLRW モデルでは、これらの天体は平均して宇宙よりはるかに密度が高いため、銀河団、星、惑星、生物的存在は存在しません。

実際には、FLRW モデルは計算が簡単であるため、最初の近似としてのみ使用されるため、これは当てはまりません。次に、密度変動を考慮したモデルが FLRW モデルに追加されます。ほとんどの宇宙学者は、宇宙の観測可能な部分がFLRW に近いモデル、つまり原始密度変動を除いて FLRW 計量に従うモデルによってよく近似されることに同意しています。 2003 年には、これらのさまざまな拡張機能の理論的意味は十分に理解されているようであり、その目標は、それらを COBE および WMAP衛星によって行われた観測と一致させることです。

ただし、完全な FLRW モデルと摂動モデルの違いを忘れる危険がありますが、ほぼ FLRWモデルは通常、単にFLRW’モデルと呼ばれます。

数学的定式化

極座標で

、次のように書くことができます。

$$ {{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 – a(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 – k r^2} + r^2 {\rm d}\Omega^2 \right )} $$

または、座標の変更を使用して移動距離を表示します。

:

$$ {{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 – a(t)^2 ({\rm d}\chi^2 + S_k^2(\chi) {\rm d}\Omega^2 )} $$

または

• $$ {a(t) \;} $$
  はエポック t における宇宙のスケールファクターです。
• パラメータ
  $$ {k \;} $$
  空間曲率を表し、+1、0、または -1 の 3 つの値を取ることができ、それぞれ閉じた曲面空間 (球面幾何学に対応)、平坦な空間 (通常のユークリッド幾何学に対応)、および開いた曲面空間 (球面幾何学に対応) を特徴付けます。双曲線幾何学へ)
• $$ {\textstyle {\rm d}\Omega^2 = {\rm d}\theta^2 + \sin^2 \theta \; {\rm d} \phi^2} $$
  「方向」に関連するメトリクスの寄与を表します
  $$ {(\theta, \phi) \;} $$
  。宇宙の膨張を研究するには、多くの場合、
  $$ {{\rm d}\Omega^2 = 0 \;} $$
  、測地線に従うフォトンの半径方向の軌道を考慮するためです。
• $$ {\chi \;} $$
  は次のように定義されます。
  $$ {\begin{cases} r = \sin \chi & \textrm{si\ } k = 1 \\ r = \chi & \textrm{si\ } k = 0\\ r = \sinh \chi & \textrm{si\ } k = -1\\ \end{cases}} $$
  または
  $$ {\chi \;} $$
  共移動距離を決定できます。
• $$ {S_k(\chi) = r \;} $$
  (そして、上記の定義から直接χの関数として表すことができます)。

曲率値に基づく FLRW メトリック

平面空間における FLRW メートル法

万一に備えて

、メトリクスを書き換えることができます。

$$ {{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 – a(t)^2 ( {\rm d}r^2 + r^2 {\rm d} \Omega^2 ) \;} $$

ここでは、半径座標で表現された、スケール係数を備えた通常の空間の計量の古典的な値を見つけます。

正の曲率空間における FLRW 計量

もし

、 我々は持っています

$$ {{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 – a(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 – r^2} + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right )} $$

r = 1に特異点があることがわかります。したがって、区間上の座標の変化を探します。

走行距離を簡単に表示します。それに気づいて 、私たちが選択しますのような 。次に、新しい形式のメトリクスを取得します。

$$ {{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 – a(t)^2 ( {\rm d} \chi^2 + \sin^2 \chi \; {\rm d} \Omega^2 ) \;} $$

負の曲率空間における FLRW 計量

もし

、 我々は持っています

$$ {{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 – a(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 + r^2} + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right )} $$

それに気づいて

、コーディネートの変更として選択しますのような 。次に、新しい形式のメトリクスを取得します。

$$ {{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 – a(t)^2 ( {\rm d} \chi^2 + \sinh^2 \chi \; {\rm d} \Omega^2 ) \;} $$