3 次曲線について詳しく解説

数学では、3次曲線は3次方程式で定義される平面曲線です。

F ( X 、 Y 、 Z ) = 0

射影平面の同次座標[ X : Y : Z ] 内。または、そのような方程式でZ = 1 とすることによって得られるアフィン空間の不均質バージョンです。ここで、 F は3次の単項式の非ゼロ線形結合です。

X ³ 、 X ² Y 、…、 Z ³

X 、 Y 、 Zで。これらは全部で 10 個あります。したがって、三次曲線は、任意の物体K上に次元9 の射影空間を形成します。 CにP を通過させる場合、各点P はFに単一の線形条件を課します。したがって、事前に与えられた任意の 9 点の集合を通過する3 次曲線を見つけることができます。

通過する立方体を探すと

与えられた点に対して、その方程式の係数として次の均一線形システムを取得します。 方程式から未知。これらの点が「一般的な位置にある」場合 (これが何を意味するかを理解するために、特に代数幾何学が行われます!)、この系のランクは最大になります。 。

もし

そしてはそれらのうちの 2 つの方程式であり、他の方程式は次の形式になります。 。これらはすべて、これら 2 つの立方体の交点を通過します。があるベズーの定理によると。

私たちは、やや軽いやり方で、すべての平面立方体が通過するということが真実であることを示しました。

点は「一般的な位置にある」を通過します。 点目。この結果は、特に非特異三次関数で定義された群法則の結合性を証明するために使用されます。記事の楕円曲線を参照してください。

3 次曲線には特異点が存在する場合があります。この場合、射影線によるパラメータ化が行われます。それ以外の場合、非特異三次曲線は、複素数などの代数的に閉じた体の上に 9 つの変曲点を持つことが知られています。これは、3 次として定義されたヘッセ行列の同次バージョンを取得し、その行列式を C と交差させることによって証明できます。次に、交差はベズーの定理によってカウントされます。ただし、これらの点がすべて実数であるとは限らないため、曲線をトレースしても実際の射影平面でそれらの点を確認することはできません。 3次曲線の実点はニュートンによって研究されました。それらは 1 つまたは 2 つの楕円形を形成します。

非特異三次関数は、 K内の座標を持つ点 ( K -有理点) を持つ任意の物体K上で楕円曲線を定義します。複素数体の楕円曲線は現在、ワイエルシュトラスの楕円関数を使用して研究されることがよくあります。これらの楕円関数 (特定のネットワークの場合) は、アフィン方程式y ² = x ( x − 1)( x − λ)を持つ 3 次の有理関数の本体と同型の本体を形成します。 K上の 3 次関数がそのようなワイエルシュトラス形式を持つ可能性は、ワイエルシュトラス形式の無限遠点として機能するK有理点の存在に依存します。たとえば、 K が有理数体である場合、そのような点を持たない三次曲線がいくつか存在します。