導入
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論理は数学における証明の基礎です。すべての数学的議論を通して隠されているように見えますが、定理を理解するためには不可欠です。ブール代数の真理値表の形式で形式化されます。
実験的な側面
含意と同等性
論理では、必要条件、十分条件、含意、等価、逆数、対偶を発見します。これらの単語のそれぞれは、命題間の論理的なリンクに対応します。
声明の中で：
- ABCD が正方形の場合、 ABCD は平行四辺形になります。
と言われています
- ABCD が正方形であることは、ABCD が平行四辺形であるための十分条件です。
- ABCDが平行四辺形であることは、ABCDが正方形であるための必須条件です
ABCDは正方形と書きます
注目できるのは、
- ABCD が平行四辺形であることは、ABCD が正方形であるための十分条件ではありません
- ABCD が正方形であることは、ABCD が平行四辺形であるための必須条件ではありません
したがって、私たちは次のような意味があることに気づきました。
- ABCDは平行四辺形です$$ {\Rightarrow} $$ABCDは正方形です
は誤った意味合いです。
この例の場合、次のようなことが示唆されます。
- 「ABCDが正方形ならABCDは平行四辺形」
は正しい意味ですが、その逆は誤りです。
含意では、含意の最初の項と 2 番目の項の間で情報が失われることがよくあります。
前のステートメントから、次のことがわかります。
- ABCD が平行四辺形でない場合、ABCD は正方形ではありません
含意の方向を反転して主張の否定を取ることを含意の対偶を取るといいます。いずれにせよ、含意が正しい場合、その対偶も正しいことになります。
含意が真であり、その逆も真である場合、2 つのステートメントは同等であると言います。
たとえば、3 つの異なる ABC ポイントの場合、次のようになります。
含意とその逆は真であり、したがって 2 つのステートメントは同等です。したがって、次のように書きます
- ABC は、(SSI と略される) AB² + AC² = BC²の場合に限り、 A で長方形になります。
と短縮されることもあります
- ABCはAの長方形です$$ {\Leftrightarrow} $$AB² + AC² = BC²
数量指定子
実際には、ステートメントは特定のドメインでのみ真となるため、有効性のドメインを指定し、それがどの要素に対して真であるかを指定する必要があります。
アファメーション
- x² $$ {\geq} $$0
文脈を無視すると意味がありません。一方、次のことがわかります。
- 任意の実数x、x² の場合$$ {\geq} $$0 (これは正しい記述です)
- 任意の複素数 x、x² に対して$$ {\geq} $$0 (これは虚偽の記述です)
- x² となるような複合体 x が存在します。 $$ {\geq} $$0 (これは正しい記述です)
- x² のようなゼロ以外の純粋な虚数が存在します。 $$ {\geq} $$0 (これは虚偽の記述です)
「存在する」および「すべてについて」という精度は、推論で暗示されることが多い量指定子と呼ばれますが、前述のピタゴラスの定理では、「すべてについて」の妥当性の範囲である量指定子によって指定されていることがわかります。明確な点 A、B、C」。
反対
肯定の反対を取ることは、前の命題が偽である場合にのみ真となる命題を表現することです。文の反対
- 「この部屋にいるのは全員女の子です」
東
- 「この部屋には、女の子ではない人が少なくとも一人はいます。」
論理と量指定子を十分に使いこなすことができれば、命題の否定を取得する方法がわかります。必要なのは、量指定子を反転して反対の性質を取得するだけです。
の反対
- 「任意の実数 x に対して、 f(x) = f(-x)」 (これはRで定義された関数のパリティを変換します)
東
- 「f(x) となるような実数 x が存在します。 $$ {\ne} $$f(-x) ( Rで定義された関数が偶数ではないという事実を反映します)
したがって、真理値表を使用して形式化できるロジック内の計算ルールが存在することがわかります。