Sylow の定理について詳しく解説

導入

群理論では、 Sylow の定理はラグランジュの定理の部分逆数を形成します。これによれば、 H が有限群Gの部分群である場合、 Hの次数はGの次数を分割します。 Sylow の定理は、 Gの次数の特定の約数について、対応する次数の部分群の存在を保証し、これらの部分群の数に関する情報を与えます。

それらは、1872 年にそれらを実証したノルウェーの数学者ルートヴィヒ シロウにちなんで名付けられました。

意味

p を素数としましょう。次に、 Gのp -Sylow 部分群をGのp最大部分群 (つまり、 p群であり、 Gの別のp部分群の適切な部分群ではない部分群) として定義します。与えられた素数整数pに対するすべてのp -Sylow サブグループのセットは、Syl _p ( G ) と表記されることもあります。

群論では、ある意味での極大部分群の集合は珍しいことではありません。ここでの驚くべき結果は、Syl _p ( G ) の場合、すべてのメンバーが実際には互いに共役しており (したがって同型)、この特性を利用してGの他の特性を決定できることです。

例、応用例

G を次数 15 = 3 · 5 の群とします。n ₃除算 5、およびn ₃ = 1 mod 3 が必要です。これらの制約を満たす唯一の値は 1 です。したがって、次数 3 のサブグループは 1 つだけあり、それは正規でなければなりません (明確な共役がないため)。同様に、 n _{5 は}3 を除算し、 n ₅ = 1 mod 5 となります。したがって、次数 5 の単一の正規部分群も持ちます。 3 と 5 は比較的素であるため、これら 2 つの部分群の共通部分は自明であり、したがってG は必然的に巡回群になります。したがって、次数 15 の単一のグループが存在します (同型写像は 1 つまで)。注記

。

より複雑な例を見てみましょう。次数 350 の単純な群は存在しないことがわかります。 G | = 350 = 2 · 5 ² · 7 の場合、 n _{5 は}14 (= 2 · 7) を除算し、 n ₅ = 1 mod 5 を実行する必要があります。したがって、 n ₅ = 1 (6 も 11 も 14 を除算しないため)、したがってG は次のようになります。は次数 5 ²の正規部分群を持つため、単純であることはできません。

次数 168 の冠詞単純群では、Sylow の定理を使用して群の単純な性質を示します。冠詞交互群はこれらの定理を使用して、最小の単純な非アーベル群が 60 次であることを示します。

Sylow の定理

次の命題は、1872 年にノルウェーの数学者ルートヴィヒ シロウによって提唱され、実証されました。 Gを与えられた有限群、 p をGの次数を分割する素数とすると、 Gの次数は ( p ⁿ · s )、 n > 0 およびp はs を除算しません。それで：

• Gにはpnオーダーのp -Sylow 部分群が存在します^。
• Gのすべてのp -Sylow 部分群は互いに共役です (したがって同型です)。つまり、 HとK がGのp -Sylow 部分群である場合、 g ^{– 1} H g = K を満たす要素g がGに存在します。
• n _{p を}Gのp -Sylow サブグループの数とします。
  • n _{p は}s を除算します。
  • n _p = 1 mod p 。

特に、前述の特性は、すべてのp -Sylow サブグループが同じ次数p ⁿであることを意味します。逆に、部分群が^{次数 pn の}場合、それはp -Sylow 部分群であるため、他のすべてのp -Sylow 部分群と同型になります。最大条件のため、 H がGの任意のp部分群である場合、 H は次数p ⁿのp部分群の部分群になります。

さらに、G の各 p-Sylow のノーマライザは、G にインデックスn _{p を}持ちます。

その他のデモンストレーション

第一定理

私たちは推測します

(つまり、次数 n のG );それでの部分群と同型であるこれは次のサブグループと同型です。 これは、次の線形アプリケーションのセットです。 -ベクトル空間次元の 。どちらかの基礎 、 としては集合から次への順列の集合です要素、たとえば 、 もし 、 基底を並べ替えるので、それを全単射線形マップ、つまり の要素に対応させることができます。 。どちらか 、 そしてそしてのサブグループです 、 それでです -Sylow のサブグループそして好きの部分群と同型である 、 認める -Sylowサブグループ