交互グループについて詳しく解説

導入

数学、より正確には群論では、次数nの交互群( A _nと呼ばれることが多い) は、要素がn個の有限集合の順列の対称群とは区別される部分群です。このサブグループは、偶数の転置から生成された要素で構成されます。転置は、ちょうど 2 つの要素aおよびb を除いて同一に帰着される置換φ です。この性質は、 φ( a ) = bおよび φ( b ) = aを意味します。

対称群ごとに交互の群が存在するため、2 以上の整数nごとに、通常はA _nで示され、場合によっては「」が付きます。

» 「U」のように見えるゴシック体）。最小の交互群A ₂は自明であり、 A _{3 は}次数 3 の循環群であり、次の群は可解であり、より具体的には、クライン群と次数 3 の循環群の半直積です。群Aより_{図５に示されるよう}に、交互のグループは単純であり、ペアでは非同形である。 nが 5 以上の場合のグループの交互配置の単純性により、次数が 5 以上の代数方程式の根号による一般表現は存在できないと規定するアーベルの定理が生じます。

交互グループは、からかいゲームやルービックキューブなど、特定の数学パズルのソース構造です。言及した 2 つのゲームで考えられる動きは、交互のグループの要素です。このプロパティにより、ゲームの残りの部分を変更せずにティーズの 2 つの正方形を交換することは不可能であることを示すことができます。

次数 4 と 5 の交互グループは、正多面体の不変条件、つまりA ₄の場合は四面体、 A ₅の場合は十二面体または二十面体を残す回転のグループとして表されます。

グループ建設

意味

その結果、署名の定義に基づいて、特定の順列を分解するのに必要な転置の数が常に同じパリティであることが規定されます。したがって、 aをbに、 bをcに、 c をaに変換するサイクル ( abc ) は、2 つの転置 ( ab )、次に ( bc )、または ( ac ) の次に ( bc ) に分解できますが、積には分解できません。奇数の移調。

この定義は、交互グループの定義の起源となります。

注: 次数nの交互グループの代わりに、インデックスnの交互グループという表現も見つかります。この選択は少し曖昧で、 S _n内のA _nのインデックスは、他の著者に対して、商グループS _n / A _nの順序を指定します。程度を表すために順序という用語が今でも使われています。この規則が使用されることはめったにありません。実際、順序という用語は群理論で群の濃度を説明するために使用されます。この選択により、残念な混乱が生じることがあります。

基本的な性質

この記事の残りの部分では、 n は2 以上の整数を示します。前の定義は、すべての順列に共有される基本的な特性に基づいています。

この特性は、次の段落で扱う順列の署名の概念を使用して実証されます。確立したら、2 番目のプロパティを簡単に示します。

実際、 A _{n は}空ではありません。これは、ゼロ転置、または 2 回の同じ転置に分解される中立要素を含んでいるからです。 φ ₁と φ ₂が 2 つの偶数順列である場合、それらの積も偶数順列になります。これを実現するには、φ ₁とφ _{2 が}偶数への転置の積に対応することに注意するだけで十分です。したがって、φ ₁ = σ ₁ …σ _2pおよび φ ₂ = τ ₁ …τ _2qとなる転置 σ ₁ , …, σ _2p , τ ₁ , …, τ _2qが存在します。積 φ ₁ .φ ₂は σ ₁ …σ _2p .τ ₁ …τ _2qに等しい。 2 つの偶数の和は偶数であるため、積は確かに偶数の順列になります。 φ ₁の逆数が実際に偶数置換であることを示すことが残っており、この逆数は、同じ転置を逆の順序で行った積である σ _2p …σ ₁に等しい。

A _nが区別されるということは、φ が部分群の要素であり、σ がS _nの任意の順列である場合、σ.φ.σ ^{-1 は}偶数順列であると言うことに等しい。実際、σ は偶数の転置の積であり、前の段落では、σ ^{-1 が}σ と同じ数の転置に分解されることを示しています。これらすべての転置の数の合計は必ず偶数になります。

実際、順列 φ に φσ を関連付けるS _nからS _nへのマップf を考えてみましょう。ここで、σはＳ _ｎの転置を表す。このような適用は、グループ内では正しい翻訳と呼ばれます。関数fは、他の翻訳と同様、全単射です。 A _nの画像は奇数順列のセットに含まれています。 fの全単射は、 A _nの次数が奇数順列のセットの基数より小さいことを示します。同様に、奇数順列のfによるイメージは偶数であり、 fの全単射も、奇数順列のセットの基数が偶数順列の基数、つまりA _nからの次数より小さいことを示します。 A _nの次数と奇数順列のセットの基数との間には等価性があります。これら 2 つのセットは、同じ基数の 2 つのサブセットのS _nのパーティションを形成し、デモンストレーションが完了します。

小さな反復により、この特性の実証が完了します。 nが 2 に等しい場合、転置は奇数であるため、プロパティが検証されます。この特性が次数m – 1 で真であると仮定し、( a ₁ …a _m-1 a _m ) で示される長さmのサイクルのパリティを調べてみましょう。サイクルが転置 ( a _m-1 a _m ) とサイクル ( a ₁ …a _m-1 ) の積であることがわかります。漸化仮説は、 m – 1 が偶数である場合に限り、長さmのサイクルが偶数の順列であることを示し、証明が完了します。

サイン

順列の署名は、順列に含まれる反転の数のパリティです。この写像が {-1, 1} におけるS _nの群射であること、および転置の署名が常に -1 に等しいことを示します。このことから、順列を分解するのに必要な転置の数は偶数と奇数の両方にすることはできず、そうでない場合は署名は群射ではないことが推測されます。実際、φ がpまたはq の転置に分解される順列である場合、射の性質に従って、φ の署名は (-1) ^pと (-1) ^{q の}両方に等しくなります。これは、 pとqが同じパリティ。以前の定義と同等の、交互グループの新しい定義を推定します。

このアプローチは、前の段落の番号 2 と 3 の命題に対する代替証明を提供します。射の中心は常に区別された部分群であり、これはA _{n が}区別された部分群であることを示します。群射の画像の次数を乗算するカーネルの次数は、開始群の次数と等しいため、交互群の次数を決定することができます。

例

次数 2 の交互グループには中性元素のみが含まれます。

次数 3 の対称グループは次数 6 で、次数 3 の恒等、3 つの転置、および次数 3 の 2 つのサイクルが含まれます。次数 3 の交互グループには次数 3 の恒等とサイクルのみが含まれます。

$$ {\mathfrak A_3 = \{\text{I},\,(123),\,(132)\}} $$

3 つの要素を含む他の群と同様に、次数 3 の巡回群と同型です。

次数 4 の対称群は次数 24 で、関連する交互群は次数 12 です。これには、次数 3 のサイクルと、素なサポートの次数 2 の 2 サイクルの積が含まれます。

$$ {\mathfrak A_4 = \{\text{I},\,(234),\,(243),\,(134),\,(143),\,(124),\,(142),\,(123),\,(132),\,(12)(34),\,(13)(42),\,(14)(23)\}} $$

次数 4 の対称群はアーベル群ではありません。これを実現するには、転置 ( 12 ) と ( 23 ) が可換でないことに注意するだけで十分です。 2 つの次数の 2 つの積により、2 つのサポート サイクル 1、2、および 3 が得られます。4 を超える次数の交互グループはアーベル的ではありません。実際、これらのグループはすべてA ₄のコピーを含みますが、そうではありません。この群は可解ですが、独立した支持体と中立要素を持つ 2 つの転置の積で構成される、顕著なアーベル部分群を含んでいます。この群はクライン群と同型であるためアーベル群であり、識別群によるA ₄の商も次数 3 であるため巡回であるためアーベル群です。

次数 5 の対称群は次数 60 です。これについては、この記事の後にさらに詳しく説明します。

からかいゲーム

からかいのゲームは、15 の正方形と欠けている^{16 番目}の正方形で構成されるチェッカーボードの形をとる孤独なゲームです。彼の数学的理論化は 1879 年に遡り、交互群の特性に基づいています。サム・ロイドからの質問の 1 つは、右に示されているからかいゲームを解決する方法です。これは、入れ替わる 14 と 15 の番号を除いて、すべての正方形が正しい位置にあるゲーム状態の解決に相当します。空き箱を無理に右下にすると無理です。これは、空のボックスが左上にあり、最初の行にはボックス 1、2 、および3 のみが含まれていることを認めた場合です。

動きを1から15までの番号が付けられた正方形の順列として考えると、次数 15 の順列のグループがからかいのゲームに作用します。より正確には、動作するグループは、さまざまな可能な置換によって生成されたサブグループです。サブグループを生成する順列がすべて次数 3 または 5 のサイクルであることを検証するのは比較的簡単です。これらの順列はすべて交互グループA ₁₅にあります。からかいゲームを実行するグ​​ループは_{、交互グループＡ１５}のサブグループであり、転置を含まない。これは、右側の構成が解決できないことを示す簡単な方法です。

レッドロバやルービック キューブなどの他のソリティアも、同様の方法で交互グループを使用します。