正多面体について詳しく解説

導入

多面体がすべて同一の規則的な面で構成され、すべての頂点が同一である場合、その多面体は正則であると言われます。それらは 9 つあり、そのうち 5 つは凸状であり、プラトンに知られていました。正多面体は単にプラトン立体と呼ばれることもあります。

歴史的

ピタゴラス自身 (紀元前 530 年頃) またはターラントのピタゴラス アルキタス(紀元前 360 年頃) が、5 つのうち最初の 3 つ、つまり四面体(ピラミッド) 、六面体 (立方体)、十二面体を発見したようです。その後、アテネのテアイテトス (紀元前 395 年または紀元前 369 年に死亡) が残りの 2 つ、八面体と二十面体を発見しました。プラトンは、紀元前 358 年の『ティマイオス』 (55e-56c) でこれらを多用しています。ユークリッドは『原論』 (紀元前 300 年頃) でそれらを研究しています。

プラトン立体 (正多面体) は 5 つあります。

正四面体（ピラミッド）

• tetrahedron: 「tetra-」=「four」、「-hedron」=「base」: 4 つの三角形の面を持つ多面体
• 正三角形の 4 つの面で構成されています
• 4 つの頂点と 6 つのエッジがあります
• 24 個の直角不等辺三角形 (3 つの辺が等しくない)

正六面体（立方体）

• 六面体: “hexa-” = “6”、”-hedron” = “ベース”
• 6つの正方形の面で構成されています
• 8つの頂点と12のエッジがあります
• 24 個の直角二等辺三角形 (2 つの等しい辺を持つ)

正八面体

• 八面体: “octa-” = “8”、”-hedron” = “base”
• 正三角形の8つの面で構成されています
• 6つの頂点と12のエッジがあります
• 48 個の直角不等辺三角形

正十二面体

• “dodecahedron”: “dodeca-” = “12”、”-hedron” = “base”
• 12 個の等しい五角形の面で構成されています
• 20 個の頂点と 30 個のエッジがあります

正二十面体

• “二十面体”: “icosa-” = “20”、”-二十面体” = “ベース”
• 正三角形の 20 個の面で構成されています
• 12 個の頂点と 30 個のエッジがあります。
• 120 個の直角不等辺三角形。

プラトン立体の面の中心はプラトン立体の頂点です。この対応は四面体の内部にあります。一方では立方体と八面体、他方では十二面体と二十面体を交換します。

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プラトンはこれらの立体を完璧のイメージであると考えました。彼にとって、対話篇「ティマイオス」で説明しているように、四面体は火の象徴であり、八面体は空気の象徴であり、二十面体は水の象徴であり、立方体は地球の象徴であり、十二面体は全宇宙の象徴である。

現代数学は、これら 5 つの正立体を群の概念に関連付けます。

参照：エコール・ポリテクニックにおけるコーシーの回想録

http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_CAUCHY_2_1

ケプラー・ポアンソ多面体

5 つのプラトン立体に加えて、他の 4 つの正立体を構築できます。その 2 つは、面が正多角形の星状 (または交差) 多角形である: ケプラー立体、もう 2 つは規則的な面を持ちますが、相互貫通する可能性があります: ポアンソの立体です。

• 小さな星型十二面体は、プラトンの 22 世紀後の 1619 年にケプラーによって発見されました。星型五角形である 12 の面、12 の頂点、30 の辺を持っています。それぞれの頂上で 3 つの顔が出会います。
• ケプラーはまた、同じ 12 個の星型五角形から形成される大きな星形十二面体も発見しました。これも 30 個の辺がありますが、頂点は 20 個しかありません。
• ポアンソは 1809 年に大きな十二面体を発見しました。その 12 面は正五角形で、12 の頂点と 30 の辺があります。
• 彼はついに、20 個の正三角形で構成され、12 の頂点と 30 の辺を持つ大きな二十面体を発見しました。