数学における部分積分とは、計算を簡略化することを目的として、関数の積の積分を他の積分に変換できる方法です。

標準的な式は次のとおりです。ここで、 fとg は連続微分を伴う 2 つの微分可能な関数であり、 aとb は定義区間の 2 つの実数です。

$$ {\int_{a}^{b} f(x) g'(x)\,\mathrm dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} – \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \,\mathrm dx} $$

あるいは

$$ {\int u dv= uv-\int v du} $$

ここで、u は被積分関数の一部を表し、dv は他の部分と積分変数を表します。

デモンストレーション

この式の証明は非常に簡単です。実際、関数 u と v の積の導出の性質から直接導かれます。

$$ {\int u'(x) v(x)\,\mathrm dx = \int (uv)’ – \int u(x) v'(x)\,\mathrm dx} $$

これにより、上記のプロパティが得られます。

このデモンストレーションは、ライプニッツの記法を使用して行うこともできます。 2 つの微分可能な関数 u と v を考えます。積の導出規則により次のことがわかります。

$$ {\frac {d(uv)}{dx}= u\frac {dv}{dx}+v\frac {du}{dx}} $$

dx を掛けると次のようになります。

$$ {d(uv)= u\frac {dvdx}{dx}+v\frac {dudx}{dx}} $$

d ( u v ) = u d v + v d u

次に、式を次のように並べ替えます。

u d v = d ( u v ) − v d u

次に、方程式を積分するだけです。

$$ {\int u dv= \int d(uv)-\int v du} $$

次に、以下を取得します。

$$ {\int u dv= uv-\int v du} $$

この式をクラスC ^{k + 1}の関数に一般化できます。

$$ {\int_{a}^{b} f(x) g^{k+1}(x)\,\mathrm dx = \left[ \sum_{n=0}^{k}(-1)^{n} f^{n}(x) g^{k-n}(x) \right]_{a}^{b} + (-1)^{k+1} \int_{a}^{b} f^{k+1}(x) g(x) \,\mathrm dx} $$

導出に使用されるルールはLPETオーダーであることに注意してください。まず対数関数、次に多項式、指数関数、そして最後に三角関数です。

例

計算してみましょう:

$$ {\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x\cos (x) \,\mathrm dx} $$

部品ごとの統合により。このために、私たちは次のように尋ねます。

f ( x ) = x 、つまりf ‘( x ) = 1 、

g ‘( x ) = cos( x ) 、たとえばg ( x ) = sin( x )となります。

彼はやって来ます：

$$ {\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x\cos (x) \,\mathrm dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} – \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} f'(x) g(x) \,\mathrm dx} $$

$$ {= \left[x\sin (x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} – \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin (x) \,\mathrm dx} $$

$$ {= \frac{\pi \sqrt{3}}{6} – \frac{1}{2}} $$

次の不定積分を計算してみましょう。

$$ {\int xe^x dx} $$

部分ごとに統合するには、次のようにします。

u = xおよびd v = e ^x d x

したがって、次のようになります。

d u = d xおよびv = e ^x

部分ごとの積分の公式を使用してみましょう。

$$ {\int u dv= uv-\int v du} $$

$$ {\int xe^x dx= xe^x-\int e^x dx} $$

積分の計算がはるかに簡単になりました。次のことがわかります。

$$ {\int xe^x dx= xe^x-e^x+C} $$