不定積分 – 定義

導入

実数解析または複素解析では、区間 I で積分可能な関数fの不定積分は、I 上で次のように定義される関数です。

$$ {F(x)=\int_a^xf(t)dt + K} $$

ここで、a は I の要素、K は定数です

f が連続関数の場合、 F はfの逆導関数です。つまり、 F の導関数はf (F’ = f ) を与えます。次に、次の形式のfのプリミティブに注目する習慣を身につけます。

$$ { F = \int f(x)dx} $$

不定積分と原始積分を混同する

fが連続でない場合、不定積分と原始積分の間に単純な対応関係はありません。

連続関数の場合

区間 I 上の任意の連続関数は、I に含まれる任意の閉区間上で積分可能です。解析の基本定理では、I のすべての実数aに対して、I 上で定義される関数は次のように定義されます。

$$ {F(x)=\int_a^xf(t)dt} $$

はaで消えるfの逆微分です。

したがって、 fの原始関数は不定積分です。

$$ { F(x)=\int_a^xf(t)dt + K} $$

定数 K は、 fの可能なすべてのプリミティブをカバーするために必要です。

非連続関数の場合

4世紀にわたり、トリチェリからライプニッツ、オイラー、コーシー、リーマン、ルベーグ、デンジョイ、ペロンを経てヤロスラフ・クルツワイル、ラルフ・ヘンシュトックに至るまでの数学者は、一方では積分、他方では原始との間に強いつながりを探そうと努力してきました。 。作業が連続関数で実行される限り、関係は単純であり、証明を提供するのはコーシーです (1823 年に王立工科大学で行われた無限小微積分に関する授業の概要の 26 番目のレッスン)。この結果が確立されたため、研究は非連続関数の場合に焦点を当てています。リーマン、次にルベーグ、カーツワイル、ヘンストックは、不定積分と原始積分の間の関係を広げることを可能にする積分可能性の定義を提示しようと努めています。

リーマン可積分関数の不定積分

可積分リーマン関数の不定積分は常に連続です。また、初期関数が連続である任意の点で微分可能です。この結果は、1875 年に Darboux と du Bois Reymond によって実証されました。しかし、不定積分と原始積分の関係はより緩やかになります。こうして私たちは遭遇します

• 不定積分は、整数部分関数のようにいくつかの点で微分可能ではありません。
• 不定積分は微分可能
  $$ {\scriptstyle \R} $$
  しかし、その導関数はすべての点で f と一致しません。たとえば、関数の価値が 2 であるx ₀を除いて 1 に等しい定数関数を考えるだけで十分です。その不定積分には式 F(x)= x + K があり、 x ₀での F の導関数は 1 の価値があります。
• 密集合上で微分不可能なままの不定積分。
• [0,1] で微分可能な不定積分。その導関数は密集合上のfと一致しません。
• 関数 F、いくつかの点を除いて微分可能ですが、導関数の不定積分ではありません。たとえば、整数部分。
• 関数 F、微分可能
  $$ {\scriptstyle \R} $$
  ですが、その導関数f はリーマン積分可能ではないため、不定積分を定義できません。たとえば、関数
  $$ {x\mapsto x^2\sin(1/x^2)} $$
  0 での連続性による拡張を持ち、無制限の導関数から微分可能であるため、積分可能ではありません。

ルベーグ積分可能関数の不定積分

ルベーグ積分可能関数は、可積分関数の領域を拡張し、したがって不定積分の領域を拡張します。

ルベーグ積分可能関数の不定積分は絶対連続です。逆に、絶対連続関数はルベーグ積分可能関数の不定積分です。

ルベーグ積分可能関数の不定積分は、 fが連続で F'(x)= f (x) である任意の点で微分可能であり、より一般的には、導関数 f を使用するほとんどすべての場所で μ 微分可能です。

F が I で微分可能であり、有界導関数を持つ場合、F はその導関数の不定積分になります。言い換えれば、 fが有界であり、逆微分がある場合、この逆微分は f の不定積分に対応します。

F が I で微分可能であり、有限のルベーグ積分可能な導関数を持つ場合、F はその導関数の不定積分です。言い換えれば、 f がルベーグ積分可能で反微分がある場合、この反微分は f の不定積分に対応します。

カントール階段: 連続関数、ほぼどこでもゼロ導関数からほぼどこでも微分可能

しかし、ほとんどどこでも微分可能な連続関数 F がまだ存在し、その導関数は F がその導関数の不定積分でなくてもルベーグ積分可能です。このような機能の典型的な例は、カントール階段です。

ただし、有界変動を持つ関数 F はほぼどこでも微分可能であり、F’ の不定積分と、ほぼどこでもゼロ導関数 μ の有界変動を持つ関数 G の和になります。

カーツワイル・ヘンシュトック積分可能関数の不定積分

KH 積分可能関数は、可積分関数の分野をさらに広げ、原始積分と不定積分の概念をほぼ完全に一致させます。

F が I で微分可能である場合、F’ は KH 積分可能であり、F はその導関数の不定積分です。言い換えれば、 fにプリミティブがある場合、それらはfの不定積分になります。

fが I 上で KH 積分可能である場合、 fの不定積分は連続であり、ほとんどどこでもfに等しい導関数が許容されます。