数学では、2 つのオブジェクトのペアとは、これら 2 つのオブジェクトを決められた順序で並べたデータです。 2 つのオブジェクトaとbのペアは ( a , b ) で表されます。 aとbが異なる場合、ペア ( a , b ) はペア ( b , a ) とは異なります。この点で、 カップル の概念はペアの概念とは異なります。カップルを指定するために、英語話者は順序付きペア、つまり順序付きペアを使用します。
カップルの概念
オブジェクトaおよびb は、それぞれ、カップル ( a , b ) の第 1 コンポーネントおよび第 2 コンポーネントと呼ばれます。
特徴的な性質
最初は原始的な概念として導入されましたが、カップルの概念の本質は次のような特徴的な性質にあります。
- 2 つのカップルは、一方ではその最初の成分が、もう一方では 2 番目の成分が互いに等しい場合にのみ等しいと言えます。
- 言い換えれば、 a 1 、 a 2 、 b 1 、 b 2が何であっても、次のようになります。
- ( a 1 , a 2 ) = ( b 1 , b 2 ) a 1 = b 1およびa 2 = b 2の場合に限ります。
この特性は、ペアの等価性と比較されます。ペアの場合、 b 1とb 2 は、a 1とa 2に関して置換できますが、カップルの場合はそうではありません。
これは次の結論によって確認されます。
- カップルのコンポーネントは、それらが同一でない限り、カップルを変更せずに交換することはできません。
- これは次のようにより正式に表現できます: aとb は何でも:
- ( a , b ) = ( b , a ) a = bの場合およびその場合に限ります。
したがって：
- カップル( a , b ) の場合: b ≠ a ⇒ ( b , a ) ≠ ( a , b )
- ペア { a , b } の場合: { b , a } = { a , b }
[ 1 ]
したがって、カップルとペアの概念を混同しないでください。
したがって、カップル内のコンポーネントの順序が重要であるため、次のように定義されます。
- a が b と異なる場合、カップル( b , a ) は対称カップル、またはカップル( a , b ) の逆カップルとさえ呼ばれます。
デカルト積
最初の成分が任意の集合Xに属し、 2 番目の成分が任意の集合Yに属するすべてのペアの集合は、これら 2 つの集合のデカルト積と呼ばれ、 X × Yで表されます。 X × Yの部分集合はグラフです。
例
- (1, 4) と (4, 4) は整数のペアです。
- E = {1, 2, 3} の場合、({1}, {1, 3}) と (Ø, {1}) は E の部分のペアになります。
集合論におけるカップル
ノルベルト・ウィーナーは、カップルという概念は全体の観点から定義できることに最初に気づきました (1914 年)。したがって、カップルという概念を手に入れるとすぐに、この概念を原始的な概念として導入する必要はありません。全体。
集合論では、結合関数は、任意の 2 つのオブジェクトxおよびyに、( x , y ) で示されるオブジェクトを関連付けて検証する関数です (直観的な意味で、私たちが取り組んでいる集合論の意味ではありません)。カップルの特徴。結合関数がたくさんあります。通常、私たちはカジミエシュ・クラトフスキ（1921）によるカップルの表現を使用します。この選択は便利ですが、本質的なものは何もありません。特に、結合の通常の数学的特性はすべて特性特性から推定でき、結合関数の選択は影響を及ぼしません。
クラトフスキー夫婦
集合論ではペアは次のように定義されます。
- xとyの任意の 2 つのセットに対して、( x , y )={{ x },{ x , y }} を設定します。
この定義では、ペア公理を3 回使用してシングルトン { x } を形成し、次にペア (またはシングルトン) { x , y } を形成し、最後にペア (またはシングルトン) {{ x } を形成する必要があります。 { x , y }}。
私たちはカップルという概念を独自の方法で明確に定義しました。次に、拡張性の公理を繰り返し使用することで、特徴的なプロパティを簡単に示します。
- すべての集合x 、 y 、 x’およびy’ について、 {{ x },{ x , y }}={{ x’ },{ x’ , y’ }} の場合、 x = x’ および y = y ‘、これは対の公理と外延性の公理を検証する集合論におけるものです。
2 つのペア (またはシングルトン) に対して等価条件を使用し、考えられるすべてのケースを注意深く区別するだけで十分です。
- { x }={ x’ } および { x , y }={ x’ , y’ } とします。次に、(2 つのシングルトンが等しい) x = x’となります。一方 (2 つのペアが等しい)、 x = x’およびy = y’とします。ここで実証したいことは、 x = y’およびy = x’としますが、他の箇所と同様にx = x’として、4要素が等しいため結果が得られます。
- { x }={ x’ , y’ } および { x , y }={ x’ } とします。これら 2 つの等式から、4 つの要素が等しいことが推定され、結果が得られます。
注意しましょう
- ( x , y ) ∈ $$ {\mathfrak{P} \,} $$($$ {\mathfrak{P} \,} $$( X∪Y ) )
これは、 Z= を設定することにより、2 つの集合のデカルト積が実際に集合であることを示すのに役立ちます (理解するには、対の公理、和集合の公理、部分の集合の公理、および公理図が必要です)。 $$ {\mathfrak{P} \,} $$
- X × Y ={z ∈ Z /∃x ∈ X ∃y ∈ Y z=(x,y)}
逆に、ペアCのセットが与えられたとします。この場合、 Cのコンポーネントは、 Cの要素の会合を結合することによって得られる集合Eに属します。 したがって、次のことを理解することで、 Cの最初と 2 番目のコンポーネントのセットを定義できます。
- E=∪∪C ; A = {x ∈ E / ∃ y (x,y) ∈ C}; B = {y ∈ E / ∃ x (x,y) ∈ C}
これは、たとえば、関係または関数の定義セットまたはイメージ セット (ペアのセットとして見られる) が実際にセットであることを示すのに役立ちます (和集合の公理と理解の公理の図を使用します)。
その他のカップリング機能
Wiener は 1914 年に次のカップルの定義を使用しました: ( x , y )={ {{ x },∅}, { { y } } } これは、Kuratowski の定義よりもほとんど複雑ではありません。
( x , y )={ x ,{ x , y }} を使用することもできますが、特性特性の証明には基礎公理が必要です。
一般化
トリプルは、次の特性を満たすものとして定義できます。
- 2 つのトリプルは、最初のコンポーネントが互いに等しく、2 番目のコンポーネントも同じで、3 番目のコンポーネントも同じである場合にのみ等しいと見なされます。
トリプル (a, b, c) は、(a, (b, c)) または 2 つのネストされたペアとしてコード化できます。ネスト順序の選択はまったく任意です。構築プロセスを n タプルに一般化できます。n は任意の整数です。無限のコンポーネントに一般化するために、私たちはタプルについて話すのではなく、関数、おそらく可算の場合はシーケンスについて話します。
3 つ以上の成分を含む一般化については、「デカルト積」の記事で詳しく説明されています。
参考資料
- زوج مرتب – arabe
- Наредена двойка – bulgare
- Parell ordenat – catalan
- جووتە ڕێکخراو – sorani
- Geordnetes Paar – allemand
- Διατεταγμένο ζεύγος – grec