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二次方程式について詳しく解説

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導入

数学では、 4 次方程式は 4 次の多項式です。

4次方程式は、3次方程式を解く方法が知られるとすぐに解けました。フェラーリ (1522 – 1565) の方法、デカルト (1596 – 1650) の方法が次々に開発されました。

以下で説明する方法は、 n 次の多項式のn根から構築される対称多項式の特性に基づいています。

二次方程式について詳しく解説

数式

方程式

$$ {ax^4 + bx^3+ cx^2 + dx + e = 0\,} $$
(1)

aで除算し、変数を変更すると、減少します。

$$ {y = x + \frac{b}{4a}} $$
方程式に

$$ {y^4 + py^2 + qy + r = 0\,} $$
(2)

誰のソリューションは

$$ {y_1 = \frac 12 ( \sqrt{z_1} + \sqrt{z_2} + \sqrt{z_3})} $$
$$ {y_2 =\frac 12 ( \sqrt{z_1} – \sqrt{z_2} – \sqrt{z_3})} $$
$$ {y_3 = \frac 12 (-\sqrt{z_1} + \sqrt{z_2} – \sqrt{z_3})} $$
$$ {y_4 = \frac 12 (- \sqrt{z_1} – \sqrt{z_2} + \sqrt{z_3})} $$

ここで、 z 1 、 z 2 、およびz 3は、結果として得られる3 次の多項式Rの 3 つの根です。

$$ {R(z) = z^3 + 2pz^2 + (p^2 – 4r)z -q^2\,} $$

これら 3 つのルートは、カルダン法を使用して決定されます。

による

$$ {\sqrt{z_i}} $$
、私たちは理解する必要があります、その二乗に価値がある数字の 1 つ
$$ {z_i\,} $$
。私たちは変化していることに気づきます
$$ {\sqrt{z_i}} $$
全体をその反対に変える
$$ { \{y_1,\,y_2,\,y_3,\,y_4\} } $$
で
$$ { \{-y_1,-y_2, -y_3,-y_4\,\} } $$
。したがって、正しい平方根を選択する必要があります。こういった商品です
$$ {\sqrt{z_1} \sqrt{z_2} \sqrt{z_3}} $$
は-qです。

方法の原理

4つの根を含む式を見つけることです

$$ {y_1\,} $$
、
$$ {y_2\,} $$
、
$$ {y_3\,} $$
そして
$$ {y_4\,} $$
、順列によって 3 つの異なる値のみを取得できるようにします。

これは例えば次のような場合に当てはまります。

$$ {-(y_1 + y_2)(y_3 + y_4)\,} $$
これは、順列により、値を与えることのみを可能にします。

$$ {z_1 = -(y_1 + y_2)(y_3 + y_4)\,} $$
$$ {z_2 = -(y_1 + y_3)(y_2 + y_4)\,} $$
$$ {z_3 = -(y_1 + y_4)(y_2 + y_3)\,} $$

任意の対称多項式

$$ {z_1\,} $$
、
$$ {z_2\,} $$
、
$$ {z_3\,} $$
の対称多項式として表すことができます。
$$ {y_1\,} $$
、
$$ {y_2\,} $$
、
$$ {y_3\,} $$
、
$$ {y_4\,} $$
。

特に、多項式の係数は

$$ {R(z) = (z – z_1)(z – z_2)(z – z_3)\,} $$
p 、 q 、 r を使用して表現できます。その物件であることは確かです

$$ {y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 0\,} $$
計算が簡単になります。

実際、私たちはそれを実証しています

$$ {z_1 + z_2 + z_3 = – 2p\,} $$
$$ {\Sigma z_iz_j = p^2-4r\,} $$
$$ {z_1z_2z_3 = q^2\,} $$

本当の3人

$$ {z_1\,} $$
、
$$ {z_2\,} $$
、
$$ {z_3\,} $$
は方程式の解になります

$$ {z^3 +2pz^2 + (p^2 – 4r)z -q^2 = 0\,} $$
(3)

見つけることはまだ残っています

$$ {y_1\,} $$
、
$$ {y_2\,} $$
、
$$ {y_3\,} $$
、
$$ {y_4\,} $$
に応じて
$$ {z_1\,} $$
、
$$ {z_2\,} $$
、
$$ {z_3\,} $$
それを知って
$$ {y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 0\,} $$
。

そのとき私たちはそれに気づきます

$$ {z_1 = (y_1 + y_2)^2 = (y_3 + y_4)^2\,} $$
$$ {z_2 = (y_1 + y_3)^2 = (y_2 + y_4)^2\,} $$
$$ {z_3 = (y_1 + y_4)^2 = (y_2 + y_3)^2\,} $$

となることによって

$$ {y_1 + y_2 = \sqrt{z_1}} $$
そして
$$ {y_3 + y_4 = – \sqrt{z_1}\,} $$
$$ {y_1 + y_3 = \sqrt{z_2}} $$
そして
$$ {y_2 + y_4 = – \sqrt{z_2}\,} $$
$$ {y_1 + y_4 = \sqrt{z_3}} $$
そして
$$ {y_2 + y_3 = – \sqrt{z_3}\,} $$

(ここでの表記を理解する必要があります)

$$ {\sqrt{z_i}\,} $$
の平方根の 1 つとして
$$ {z_i\,} $$
）。

の価値観

$$ {y_i\,} $$
単純な加算によって求められます。

ケースの在庫

係数p 、 q 、およびrが実数の場合、多項式Rの根の積はq 2であることに注意してください。したがって、多項式Rの根の形式と次の解は制限されます。 4次方程式。

  • Rの 3 つの根が正の実数値の場合、4 つの実数値が得られます。
  • Rの 3 つの根が実数で、2 つが負の場合、2 対の共役複素数が得られます。
  • R が実根と 2 つの複素共役根を持つ場合、実根は正となり、2 つの実数値と 2 つの複素共役が得られます。
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特殊な方程式

4次方程式の中には、二乗方程式や対称方程式など、二次方程式を使用しないと解けないものもあります。

二乗方程式

それらは次の形式で書かれています

$$ {ax^4 + bx^2 + c = 0\,} $$

変数を変更することで解決されます

$$ {y = x^2\,} $$
そして
$$ {ay^2 + by + c = 0\,} $$
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準対称方程式

型の方程式

$$ {x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+m^2=0\,} $$
、 と
$$ {m = a_3/a_1\,} $$
は、 Ana Floresの方法を使用して解くことができます。方程式を次のように除算します。
$$ {x^2\,} $$
を取得します。

変数変更の使用

そしてそれを知って

私たちは得る

$$ {(z^2-2m)+a_1z+a_2=0\,} $$
。

この方程式は最大 2 つの解を許容します

$$ {z_1\,} $$
そして
$$ {z_2\,} $$
。

初期方程式の根は次のように解くことで得られます。

そして

$$ {x^2 – z_2 x+m=0\,} $$
。

もし

$$ {a_0\,} $$
1 とは異なります

この方法は今でも適用されます。方程式全体を次のように割るだけです。

$$ {a_0\,} $$
。

準対称方程式には次の特性があります: x 1の場合、

$$ {x_2\,} $$
、 × 3 、
$$ {x_4\,} $$
が方程式の根である場合、
$$ {x_1x_2=m\,} $$
そして
$$ {x_3x_4=m\,} $$
。

対称方程式

それらは次の形式で書かれています

$$ {ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0\,} $$

(これは前のケースの特殊なケースです) 変数を変更することで解決されます。

$$ {z = x + \frac {1}{x}\,} $$

そしてその解決策

$$ {az^2 + bz + c – 2a = 0\,} $$
。

参考資料

  1. معادلة رباعية – arabe
  2. Equació de quart grau – catalan
  3. Kvartická rovnice – tchèque
  4. Тăваттăмĕш капашлă танлăх – tchouvache
  5. Quartische Gleichung – allemand
  6. Quartic function – anglais

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