導入
アインシュタインの宇宙は、1915 年にアルバート アインシュタインによって発見された一般相対性理論に基づく最初の宇宙モデルに与えられた名前です。このモデルは 1917 年にアインシュタイン自身によって提案されましたが、その後、宇宙の膨張の発見により放棄されました。宇宙。
説明
アインシュタインの宇宙は、この機会にアインシュタインが提案した宇宙原理、つまり宇宙は均一かつ等方性であるという考えに基づいています。哲学的と思われる理由で、アインシュタインは、それが静的で不変であるという仮説を追加しました。重力の影響下では、宇宙内のさまざまな物体は互いに引き付け合うため、互いに近づく傾向があります。この引力を相殺するために、アインシュタインは、斥力に相当する力を宇宙に導入するよう導かれ、それを宇宙定数と呼びました。この仮説は、後から考えると文脈を考えると極めて場当たり的であるように見えますが、引力現象と斥力現象の間のバランスを確立することを可能にします。このバランスが存在するためには、宇宙の空間曲率が正である必要があります。言い換えれば、宇宙は有限の広がりを持っていますが、エッジがなく、通常の 2 次元の球に少し似ている必要があります。そして、宇宙定数、物質の密度、空間の曲率の間に一定の関係が満たされる場合、宇宙の静止性が保証されます。
数学的説明
解の導出
アインシュタインの宇宙は均一かつ等方性であるため、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー形式主義とフリードマン方程式の枠組み内で説明できます。これらが書かれています
- $$ {3 \left(\frac{H^2}{c^2} + \frac{K}{a^2} \right) = \kappa \rho} $$、
- $$ {3 \frac{H^2}{c^2} + 2 \frac{\dot H}{c^2} + \frac{K}{a^2} = – \kappa P} $$、
ここで、 Pとρはそれぞれ全圧とエネルギー密度、 H は膨張率、 K / a 2 は空間曲率、 c は光速、 κ はアインシュタイン定数です。アインシュタインの宇宙は静的であり、その膨張率はゼロであり、その時間導関数は
- $$ {3 \frac{K}{a^2} = \kappa \rho} $$、
- $$ {\frac{K}{a^2} = – \kappa P} $$。
エネルギー密度と圧力がゼロの場合は、通常のミンコフスキー空間に相当します。しかし、圧力がエネルギー密度に比べて無視できる非相対論的物質の場合、これら 2 つの等式を同時に満たすことはできないことがわかります。さらに、エネルギー密度がゼロでない場合、全圧力はエネルギー密度と逆の符号を持つ必要があります (絶対値でエネルギー密度の 3 分の 1 に等しい)。宇宙に普通の物質が存在すると仮定すると、これらの方程式を両立させる唯一の方法は、エキゾチックな特性を持つ別の形態の物質の存在を仮定することです。いくつかの選択肢があります。宇宙定数に対応するアインシュタインの圧力P Λが密度ρ Λと反対である流体として解釈できます。非相対論的物質の形でのエネルギー密度を ρ mとすると、次のようになります。
- $$ {3 \frac{K}{a^2} = \kappa (\rho_{\mathrm m} + \rho_\Lambda)} $$、
- $$ {\frac{K}{a^2} = – \kappa P_\Lambda = \kappa \rho_\Lambda} $$。
したがって、すぐに取得します
- $$ {\rho_{\mathrm m}\, =\, 2 \rho_\Lambda} $$、
そして空間曲率は次のように与えられます。
- $$ {\frac{K}{a^2} = \kappa \rho_\Lambda} $$。
アインシュタインが宇宙定数をこのように選択した理由は、場合に応じて、宇宙定数は特定のエネルギー密度と圧力を持つ流体として、または純粋に空間の幾何学的な特性として考えることができるという事実に起因します。 。この 2 番目のケースでは、宇宙定数Λ は、次の式で与えられる長さの2 乗による均一量を表します。
- $$ {\Lambda\, = \,\kappa \rho_\Lambda} $$。
この場合の曲率半径は、
- $$ {R_c = \sqrt{\Lambda}} $$。
