完全な四角形 - 定義 - サイエンス・ハブ

導入

完全な四辺形は、4 本の直線で構成された平面幾何学図形であり、そのうちの 2 本は平行でなく、いずれの 3 本も同時ではありません。

完全な四角形を定義するもう 1 つの方法は、線(AB)と(CD)の交点Eと線(AD)と(BC)の交点Fによって凸四角形ABCD を完成することです。

この図形は射影幾何学と密接に関連しており、 2 世紀にメネラウス、次にアレクサンドリアのパップス^によって研究されました。

プロパティ

対角線上の高調波分割

3 つの対角線 [ BD ]、[ EF ]、および [ AC ] はそれぞれ、他の 2 つで調和的に分割されます。

各対角線は他の 2 つの対角線と交差し、調和の分割を作成します。より明確に、対角線(BD) は、次のようにIとJで対角線(AC)と(EF)によってカットされます。

$$ {{\frac{\overline{IB}}{\overline{ID}}}\mathrel{:}{\frac{\overline{JB}}{\overline{JD}}}=-1} $$

同様に、 K が対角線 ( AC ) と ( EF ) の交点である場合:

これは、平行四辺形の対角線の性質 (完全な四辺形の対角線の 1 つが、完全なアフィン平面として見た射影面の無限遠の線である場合)、つまりそれらが中央で交差するという射影アバターです。高調波分割の限定的なケースについては、記事を参照してください)。

最初の幾何学的デモンストレーションを行います。これは、調和層の特性を使用します。つまり、調和層の正割線が調和分割に従ってカットされるという特徴的な特性と、第 4 高調波の存在と一意性です。

ある点から来る 3 本の直線が与えられると、それらによって調和ビームを形成する直線は 1 本だけです。

[ O |と表しましょうA ₁ 、 A ₂ 、 A ₃ 、 A ₄ ]直線の束( O A ₁ )、 ( O A ₂ )、 ( O A ₃ )、 ( O A ₄ ) (点A ₁ 、 A ₂ 、 A _３、Ａ４_は必ずしも整列しているわけではない）。

I を対角線( A C )と( B D )の交点とします。 M をライン( E I )上の固有の点とし、束[ E | F 、 C 、 M 、 D ]は高調波です。聞いてみましょう

$$ {H=(FM)\cap(BC)} $$

そして

$$ {H’=(FM)\cap(AD)} $$

。

私たちは[ F | E 、 B 、 M 、 D ] = [ F | E 、 B 、 H 、 C ]なので、ビーム[ I | E 、 B 、 H 、 C ]は調和です (調和であるかどうかはセカントとの交点の位置にのみ依存することを思い出してください。ここでセカントは線( EC )です)。

同様の理由で、 [ I | ]についても同様です。 E 、 A 、 H ‘、 D ] 。

しかし、 ( I A ) = ( I C )および( I B ) = ( I D )であるため、 [ I | E 、 A 、 H ‘、 D ] = [ I | E 、 B 、 H ‘、 C ]なので、2 つのビーム[ I | E 、 B 、 H 、 C ]および[ I | E 、 B 、 H ‘、 C ] はどちらも高調波であり、3 つの共通線があります。一意性の性質により、これら 2 つの層は同一であるため、 ( I H ) = ( I H ‘) となります。

それで

$$ {I=(HH’)\cap(EI)=M} $$

Mの定義によると、

ビーム[ F |したがって、 J 、 B 、 I 、 D ]は調和です。これは、 [ I 、 J ] が[ B 、 D ]を調和的に除算することを意味します。

Y = λ X 、 Y = μ XをOからの 2 本の線とする。 A = ( a ,0) x軸上の点。 Y = α( X − a )とY = β( X − a ) Aからの 2 つのライン。４つの交点をＭ _ｉ（ｘ _ｉ，ｙ _ｉ）と表す。

計算は簡単です

$$ { x_1=\frac{a\alpha}{ \alpha-\lambda}} $$

そこから順列によって次の値を取得します。

$$ {\quad x_2=\frac{a\beta}{ \beta-\lambda},\quad x_3=\frac{a\beta}{ \beta-\mu},\quad x_4=\frac{a\alpha}{\alpha-\mu}.} $$

直線( M ₁ M ₃ ) には次の方程式があります。

$$ {\quad\begin{vmatrix}X&x_1&x_3\\Y&\lambda x_1&\mu x_3\\1&1&1\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}X&a\alpha&a\beta\\Y&a\lambda\alpha&a\mu\beta\\1&\alpha-\lambda&\beta-\mu\end{vmatrix}=0.} $$

軸O xとの交点の横座標ω を導出します。

$$ {\quad\omega=\frac{a^2\alpha\beta(\lambda-\mu)}{\begin{vmatrix}a\lambda\alpha&a\mu\beta\\\alpha-\lambda&\beta-\mu\end{vmatrix}}.} $$

順列により、次のことを推定します。

$$ {(M_2M_4)\cap(Ox)} $$

$$ {\quad\omega’=\frac{a^2\alpha\beta(\lambda-\mu)}{\begin{vmatrix}a\lambda\beta&a\mu\alpha\\\beta-\lambda&\alpha-\mu\end{vmatrix}}.} $$

その結果

決定要因の開発後。

注: a = 1とすることもできますが、調和平均は次のようになります。

目立たなくなりました。

この特性は、メネラウスの定理とチェヴァの定理から演繹することもできますし、彼の定理の 1 つを他の定理から演繹することもできます。この最後の記事を参照してください。

ニュートン線

3 つの対角線の中点は、ニュートン線と呼ばれる線上に揃います。

ミケルの定理

三角形に外接する円(EAD) 、 (EBC) 、 (FAB)および(FDC)は同時に存在します。

完全な四角形 – 定義

導入

プロパティ

対角線上の高調波分割

ニュートン線

ミケルの定理

参考資料

完全な四角形 – 定義・関連動画