ハイゼンベルク不等式の飽和について詳しく解説

導入

量子力学におけるハイゼンベルクの不確定性原理は、不等式定理に関連しています。この不平等は、平等がある場合には飽和すると言われます。この飽和が確認されると、状態 | ψ > は研究すると興味深いことがよくあります。

A と B を交換しない 2 つの観察可能な演算子とし、iC をその交換子とし、A と B を中心に置くと、せいぜい

$$ {<\psi|\hat A^2|\psi>\cdot <\psi|\hat B^2|\psi> = {1 \over 4}<\psi|\hat C^2|\psi>} $$

不等式定理の証明の思い出

定理の説明は次のとおりです (不確定性原理を参照)。

A と B を可換でない 2 つの観測可能な演算子とします。その場合、A と B を同時に測定することはできません。精度の欠如は iC スイッチに関連しています。 C演算子はHermitianなので、本物です。どちらかの状態 | ψ 、var(A) は A の分散、同様に var(B) 、B の分散も、不等式が書き換えられます。

$$ {<\psi|\hat{var}(A)|\psi>\cdot <\psi|\hat{var}(B)|\psi> = {1 \over 4}<\psi|\hat{var}(C)|\psi>} $$

デモンストレーション:

A1 を中心にあるオブザーバブルとします。 := A – ; var(A)= .(B1も同様)

|f> := A1| に適用されるシュワルツの不等式ψ > および |g> = B1| ψ >

var(A).var(B) > | を与えます。 |² 。

または A1.B1 = So/2 +iC/2 (2So := A1.B1 + B1.A1 であるため)本物です）

したがって、var(A).var(B) > 1/4 ² + 1/4 ²、彩度あり ( |f> = k |g> の場合)

自由粒子への応用

粒子が自由な場合、A = 演算子 P および B = 演算子 X を考慮すると、次のことがすぐにわかります。

、 それでしたがって、k の値は k = -i となります。 、飽和状態では (P-p0) = k (X-x0) となります。この一次微分方程式を解くことで、次のようになります。

。 、 と

これはガウス波パケットであり、明らかに var(X).var(P)=1/4 です。

。

ガウス分布を見つけることはそれほど驚くべきことではありません。しかし、 ψ( x , t )の分散が避けられないため、時間依存性に重要な欠陥が生じます。つまり、波束は時間の経過とともに広がります。したがって、分散を制限するには電位が介入する必要があります。これは調和発振器の場合に当てはまります。

飽和

A1 | の場合は飽和があります。 ψ > = k B1 | ψ >: この状態は最小の不確実性を達成します。

加算により、 k var(A) +1/k var(B) = 2この場合、これはゼロです (A と B の量子相関はゼロであると言われることがあります)。そして引き算により k var(A) -1/k var(B) = i 、

したがって、k の値は k = i となります。 /2var(A) = -2var(B)/i ;これにより、多くの場合、k を評価できるようになります。

次に、A1-k.B1 が飽和状態を消滅させると言います。

ボウルへの塗布 1/n A x^n

繰り返しますが、基底状態は飽和に対応し、この特性により= 1/4。

/mv(X)。そしてビリアル定理は次のようになります/n-1 = = Eo/n;これにより、(次元解析のみの場合):

• $$ {E_0^{n+1}= c_n A(\frac{\hbar^2}{m})^{n/2}} $$
• $$ {v(X)^{(n+2)/2} = c’_n \frac{\hbar^2}{mA}} $$
• したがって、「飽和」波束はガウス分布のままになります。

高調波発振器への応用

潜在的な 1/2 K x² の場合、常に次のようになります。

var(X).var(P) = 1/4

、

したがって、エネルギー E = 1/2 K.var(X)+1/2 var(P)/m は次のように下限されます。

。

• 飽和の場合、E= Eo であり、消滅演算子は再びガウス波パケットを与えますが、今回は分散は時間に依存せず、次のようになります。

• この波束は静止しており (エネルギーは完全にわかっています)、ポテンシャルボウルの底に広がります。その勾配は、エネルギー Eo の半分である平均運動エネルギーを与えます。
• 注: ビリアル定理も次のようになります。 = = エオ/2。
• 桁違い: 共有結合性の二原子分子の場合、距離 d(AB) は常に量子ゆらぎによりわずかに変化します。量子ゆらぎは、これまでに見てきたように、その分散が次のようになります。
  $$ { = \sqrt{\frac{\hbar}{\sqrt{mK}}}} $$

• ヘリウムの場合: さらに驚くべきケースがあります: 結合が共有結合ではなく、希ガス結晶のようなレナード・ジョーンズ (ファンデルワールス結合モデル) であると仮定します。その場合、K ははるかに低く、ヘリウムの場合は終了できます。ゼロ温度での量子振動、var(X) ~ d²/10: しかし、この基準は、結晶の原子の拡散の可能性に関するリンデマンの基準です。これは凝集力を失い、液体になります。これは、冷却だけでは結晶化できない唯一の物体であるヘリウムの異常性を説明しています。固相で安定したヘリウムを得るには、圧力を加えて何らかの方法で K の値を「強化」する必要があります。