導入
古典物理学では、重力位置エネルギーは、重力場に関連するエネルギーの形式に対応します。その最も自然な解釈は、重力場に浸された物体を動かすために行われなければならない仕事に関連しています。より正確には、2 点間を移動する質量の重力位置エネルギーの変化は、重力場が支配する領域に浸漬されたときに、この 2 点間でこの質量を移動させるのに必要な仕事の逆になります。
一般的な考慮事項
重力位置エネルギーは、あらゆる形式の位置エネルギーと同様に、任意の加法定数まで定義されます。ただし、質量が影響を受ける場の重心から無限に離れている場合は、ゼロの位置エネルギーの値を採用して定数の値を固定するのが通例です。この場合、重力位置エネルギーは負になります。これは、重力場から質量を抽出するには、積極的な仕事 (つまり、エネルギーの消費) を行う必要があることを意味します。これは、自然界では質量は正の量であり、常に互いに引き付け合うという事実の直接的な結果です。したがって、質量を任意の質量分布から遠ざけるには、異なる質量間の引力に対抗するためにエネルギーを消費する必要があります。
一般的な質量分布の場合
質量密度ρ ( r ) で記述される物質の連続分布の最も一般的なケースでは、 r は空間内の任意の点の動径ベクトルを表し、系の重力位置エネルギーは必要なすべての仕事の合計で与えられます。それぞれの部分を無限遠から最終位置に移動します。このエネルギーは次のように書き出されます。
- $$ {E_{\rm p} =-\frac{1}{2} \iint G\frac{\rho({symbol r})\rho({symbol r’})}{|{symbol r} – {symbol r’}|}\;{\rm d}{symbol r}\;{\rm d}{symbol r’}} $$。
係数 1/2 は、質量分布の 2 点間で取得されるすべての位置エネルギーを考慮し、点の各ペアが 2 回カウントされるため、最終結果に係数 1 /2 を追加する必要があるという事実によって理解できます。
その他の執筆
重力ポテンシャルに応じて
重力ポテンシャルの一般式が書かれているため
- $$ {\Phi({symbol r}) = -G \int \frac{\rho({symbol r’})}{|{symbol r} – {symbol r’}|} \;{\rm d}{symbol r’}} $$、
前の式で 2 つの積分のうち 1 つを実行すると、次の結果を得ることができます。
- $$ {E_{\rm p} =\frac{1}{2} \int \rho({symbol r}) \Phi({symbol r}) \;{\rm d}{symbol r}} $$。
重力場に応じて
重力源の分布によって生成される重力場gがわかっていれば、前の式を次のように再表現できます。
- $$ {E_{\rm p} =- \frac{1}{8 \pi G} \int |{symbol g} ({symbol r})|^2 \;{\rm d}{symbol r}} $$。
実際、ポアソン方程式に従って、ある点におけるポテンシャル Φ を物質の密度の関数として表すことができます。
- ΔΦ = 4π Gρ 。
したがって、最初の式は書き換えられます
- $$ {E_{\rm p} =\frac{1}{2} \int \frac{\Delta \Phi}{4 \pi G} \Phi({symbol r}) \;{\rm d}{symbol r}} $$。
この式は自然に部分的に統合でき、次のようになります。
- $$ {E_{\rm p} =- \frac{1}{8 \pi G} \int |\nabla \Phi|^2 \;{\rm d}{symbol r}} $$。
しかし、重力場はポテンシャル勾配Φの逆に他なりません。それで、
- $$ {E_{\rm p} =- \frac{1}{8 \pi G} \int |{symbol g} ({symbol r})|^2 \;{\rm d}{symbol r}} $$。
この式は本質的に静電エネルギーと静磁気エネルギーに似ており、どちらも対応する場 (それぞれ電場と磁場) のノルムの2 乗の全空間にわたる積分に適切な定数を掛けたものを含みます。たとえば、定数は静電位置エネルギーの場合はε /2、重力位置エネルギーの場合は -1/8 πGです。これは、静電力と重力には定数 1/4 πεとGが含まれ、一方は同じ符号の電荷に対して反発するためです。一方、もう一方は魅力的です。
この式は、球面対称の物質分布の重力位置エネルギーを計算する場合に非常に便利です。
