ニワトリ数と超数 - 定義 - サイエンス・ハブ

導入

奇数nに対する一般的な素数性テストは、 n が2 ⁿ – 2 を割るかどうかをテストすることで構成されます。そうでない場合は、フェルマーの小定理により、 nは素数ではないと結論付けられます。ただし、このテストに合格する合成数も存在します。それらは、基数 2 の擬似素数、またはプーレット数、さらにはサラス数と呼ばれます。

したがって、合成数n は、 n が2 ⁿ – 2 を割る場合、チキン数になります。

チキン超数とは、各複合約数がチキン数である数です。

したがって、合成数n は、 nの約数dが 2 ^d – 2 を除算する場合、チキン数になります。そのような約数dが合成である場合、 d自体はチキン超数になります。

例

たとえば、341 はニワトリの超数です。その正の約数は {1, 11, 31, 341} で、次のようになります。

素因数が 2 つしかないすべてのチキン数がチキン超数であることは自明です。これは 341 の場合です。

ニワトリの最初の数と超数

最初のチキン数と超数、およびそれらの分解を次の表に示します。

鶏の数
番号	分解
341	11×31
561	3×11×17
645	3×5×43
1105	5×13×17
1387	19×73
1729年	7×13×19
1905年	3×5×127
2047年	23×89
2465	5×17×29
2701	37×17
2821	7×13×31

チキンスーパーナンバーズ
番号	分解
341	11×31
1387	19×73
2047年	23×89
2701	37×73
3277	29×112
4033	37×109
4369	17×257
4681	31×151
5461	43×127
7957	73×109
8321	53×157

偶数の鶏の数
番号	分解
161038	2×73×1103
215326	2×23×31×151
2568226	2×23×31×1801
3020626	2×7×359×601
7866046	2×23×271×631
9115426	2×31×233×631
49699666	2×311×79903
143742226	2×23×31×100801
161292286	2×127×199×3191
196116194	2×127×599×1289
209665666	2×7×89×197×881

ここで示されているチキン超数はすべて 2 つの素因数を持つチキン数であることに注意してください。

2 つ以上の素因数を持つニワトリの超数

次のように 3 つの素因数を使用してチキン超数を構築できます。

p ₁ 、 p ₂ 、 p ₃が 3 つの異なる素数で、 p ₁ p ₂ 、 p ₁ p ₃ 、およびp ₂ p ₃がチキン超数である場合、 p ₁ p ₂ p ₃はチキン超数です。

たとえば、上の表から、素数 37、73、109 が適切であることが簡単にわかります。彼らの積: 294409 = 37×73×109 はチキンの超数です。

次のような一般化もあります。

p ₁ 、 p ₂ 、…、 p _nがn個の別個の素数であり、すべての積p _i p _j ( iはjとは異なる) がチキン超数である場合、積p ₁ p ₂ … p _{n は}次のようになります。チキンのスーパーナンバー。

2 つの素因数を持つプーレット数に関する上記の特徴によれば、仮説は次のように再定式化できます。

$$ { \forall i,j,\ 2^{p_i} \equiv 2 \mod {p_j} } $$

( i = jの場合、これはフェルマーの小定理です。)

証明はnに関する帰納法によって行われます。

n = 3 の場合から始めましょう。の厳密な複合約数

$$ {p_1\cdot p_2\cdot p_3} $$

は仮説によるニワトリの数です。それを示すことはまだ残っています

$$ {p_1\cdot p_2\cdot p_3} $$

また。

我々は持っています

$$ { \begin{array}{rcll} 2^{p_1\cdot p_2\cdot p_3} &\equiv& (2^{p_1})^{p_2\cdot p_3} &\mod p_1\\ &\equiv& 2^{p_2\cdot p_3} &\mod p_1\\ &\equiv& (2^{p_2})^{p_3} &\mod p_1\\ &\equiv& 2^{p_3} &\mod p_1\\ &\equiv& 2 &\mod p_1\\ \end{array} } $$

p _{i は}対称的な役割を果たしており、同様に

$$ { \begin{array}{rcll} 2^{p_1\cdot p_2\cdot p_3} &\equiv& 2 &\mod p_2\\ 2^{p_1\cdot p_2\cdot p_3} &\equiv& 2 &\mod p_3\\ \end{array} } $$

p _{i は}別個の素数であるため、次のように結論付けられます。

$$ { 2^{p_1\cdot p_2\cdot p_3} \equiv 2 \mod p_1\cdot p_2\cdot p_3. } $$

これで、 n = 3 の場合が終わります。

一般的なケースに移りましょう。再発仮説はすぐに、次のすべての厳密な複合約数を導き出します。

$$ {p_1\cdot p_2\cdots p_n} $$

はチキン番号です。それを検証することが残っています

$$ {p_1\cdot p_2\cdots p_n} $$

それ自体がチキン番号です。 n = 3 の場合の証明は簡単に一般化できます。

7、8 素因数など

次の素数族を使用すると、最大 7 つの異なる素因数を含むチキン数を取得できます。

103、307、2143、2857、6529、11119、131071
709、2833、3541、12037、31153、174877、184081
1861、5581、11161、26041、37201、87421、102301(*)
6421、12841、51361、57781、115561、192601、205441

これらの族により、最大 8 つの異なる素因数を調べることができます。

1861、5581、11161、26041、37201、87421、102301、316201(*)
2383、6353、13499、50023、53993、202471、321571、476401
2053、8209、16417、57457、246241、262657、279073、525313
1801、8101、54001、63901、100801、115201、617401、695701

上で (*) マークが付いた 2 つの行間の関係に注目してください。この素数のリストは、実際には 22 個の異なる素数まで継続できます。

1861、5581、11161、26041、37201、87421、102301、316201、4242661、52597081、364831561、2903110321、8973817381、 501、29126056043168521、3843336736934094661、24865899693834809641、57805828745692758010628581、7813704995838737083111101、 4679543354395459765322784642019625339542212601

二乗因数

二乗因子を持つチキン超数、特にウィーフェリッヒ数の二乗も存在します。ウィーフェリッヒ数は、 p ^{2 が}プーレット超数となるような素数pとして定義できます。 p = 1093 とp = 3511 の 2 つだけがわかっています。したがって、 1093 ² 、 3511 ²はチキン超数ですが、1093 ² × 4733 なども同様です。

参考資料

ニワトリ数と超数 – 定義・関連動画

https://www.youtube.com/watch?v=hxvFwZtmYug&pp=ygUr44OL44Ov44OI44Oq5pWw44Go6LaF5pWwIC0g5a6a576pJmhsPXtsYW5nfQ%3D%3D