導入
数学、より正確には集合論では、大きな基数は、 aleph zero 、 aleph- ωなどの通常の公理 (ZFC) で構築可能な集合とは区別される性質を満たす超有限基数であり、必然的に次のようになります。それはこれらすべてよりも優れています。したがって、偉大な枢機卿の存在は、新しい公理の受け入れの対象となります。
定義 (不完全)
大基数公理は、特定の大基数特性を持つ基数 (または場合によっては基数のファミリー) が存在することを示す公理です。このようなプロパティが何であるかの正確な定義については実際のコンセンサスはありませんが、多数のプロパティのリストがこの修飾子に値することにほぼ全員が同意しています。あるプロパティが大きな基数プロパティと呼ばれるための合理的な必要条件は、そのプロパティを持つ基数の存在がZFCの公理と矛盾することが知られていないことですが、ZFC が矛盾しない場合、は「ZFC + そんな枢機卿は存在しない」です。したがって、そのような基数の存在の肯定は、ZFC の (厳密な) 強化、およびそのような結果を実証できるように ZFC に何を追加する必要があるかの尺度としてそのような公理を使用することと見なすことができます。デイナ・スコット氏が言うように、「より多くの結果を望むなら、より多くのことを想定する必要がある」という言葉を定量的に明確にする方法として見ることができます。 ZFC のみを使用して実証された結果は指定する必要がなく、他の仮説 (大きな基本公理など) は明示する必要がある、というのが一般に受け入れられているようです。これが言語上の慣習なのか、それとも他の何かなのかは、認識論的な議論の主題であり、後で扱われます。
動機と認識論的状態
偉大な基本公理の自然な解釈では、各ステップで前のセットの一部のセット、または極限段階ですでに構築されたセットの和集合を取得することによる超限漸化によって構築されるフォンノイマン宇宙V を使用します。通常、特定の大基本公理が偽であるモデルを、それが真であるモデルのサブモデルとして考えることができます。たとえば、アクセスできない基数が存在する場合、最初のアクセスできない基数でフォン ノイマン構築を停止すると、アクセスできない基数が存在しないモデル (「宇宙」) が得られます。同様に、可測基数が存在する場合、 Vの構成を定義可能な部分のセットに制限すると、ゲーデルの構成可能宇宙Lが得られます。これは構成可能性公理を満たしますが、「可測基数が存在する」という主張は検証されません (ただし、可測基数は存在します)。それらは序数として含まれています)。したがって、ある観点（多くの理論家、特にカバールグループの伝統に触発された理論家によって支持されている）から見ると、これらの公理はすべての集合を考慮に入れると「言っている」一方で、その否定は「制限的」であり、以下に限定されることになります。特定のセットのみ。さらに、これらの公理の結果は規則的なパターンに従うことがよくあります (Maddy の記事「公理を信じる II」を参照)。これらすべての理由から、これらの理論家は、動機が明確ではない公理 (マーティンの公理など) や直感的に信じがたいと考える他の公理 ( V = Lなど) とは異なり、大きな基数の公理が ZFC の拡張機能の中で特権的な地位を持っていると考える傾向があります。このグループの中で最も確信を持った実在論の支持者は、もっと簡単に言えば、これらの公理は真実であると断言するでしょう。この観点は、すべての理論家の間で決して一致しているわけではありません。一部の形式主義者は、標準集合論は定義上、ZFC の結果の研究であると考えており、他のシステムの研究には原理的に反対していませんが、偉大な枢機卿が特に興味深いと考える理由。実在論者の中には、存在論的最大主義が十分な動機であることを否定し、時にはこれらの公理が偽であるとさえ主張する人もいます。そして最後に、これらの公理の否定は決して制限的なものではないという立場に遭遇することがあります。これは、（たとえば）測定可能な値が存在すると「信じる」 Lの推移的なサブモデルが存在し得るという見解によって裏付けられています。枢機卿ですが、この命題はLでは偽です。
