トーラスという用語には、使用法に応じて、基本的に 2 つの異なる意味があります。
- 工学または初等幾何学では、トーラスは円またはその表面から得られる空間内の回転体を指定できます。したがって、ドーナツ、ブイの多くのモデル、または特定のOリング シールでさえ、多かれ少なかれO リングの形状をしています。
- 数学、主にトポロジーと幾何学において、トーラスは、ネットワークによる有限次元の実ベクトル空間、またはそれに同相な位相空間の商です。上で説明した回転体の表面は、縮退の場合を除いて、一般に ( R / Z ) × ( R / Z ) と同相です。
革命の固体
トーラスは、その平面内にその中心から距離Ｒの位置に位置するアフィン線Ｄの周りの半径ｒの円Ｃの回転によって生成されるユークリッド空間Ｒ ３の体積を示す。この承認において、一部の著者は完全なトーラスによって得られる固体を指定し、対応する表面に対してトーラスという用語を留保します。ダイレクトアフィン アイソメトリまでは、(完全な) トーラスは 2 つの実数パラメーターRとrによってのみ決定されます。
(完全な) トーラスの形状は、 R – rの符号によって異なります。
- R < rの場合、トーラスは「交差」と呼ばれ、視覚的にはカボチャに似ています。固体はトポロジー的には 3 次元空間の閉じた球であり、その表面は球です。
- R = rの場合、トーラスは「ゼロカラー」であると言われます。
- R > rの場合、トーラスは「オープン」と呼ばれ、インナー チューブ(フランス語圏の例) またはドーナツ (英語圏の例) に似ています。
R = 0 の場合、対応する (完全な) トーラスは事実上ボール (直径の 1 つの周りの円盤の回転によって得られる固体) です。著者によっては、 R – r正、または厳密に正のトーラスという名前を留保している人もいます。
面積と体積
R – r が正またはゼロの場合、次のようになります。
- トーラスの面積: A = 4 π² r R;
- トーラスの内部体積: V = 2 π² r² R。
ガイシンの定理により、交差トーラスの面積と体積の公式を求めることができます ( R < rの場合)。
アイソメトリグループ
R >0 の場合、トーラスの注目すべきアイソメトリの中で、以下を区別します。
- 軸 (向きがあると仮定) Dと角度uの回転r u ;
- Cの中心を通りDに直交するアフィン平面Pに対する反転a ;
- D を含む任意のアフィン平面Qに関する反転b Q 。
- 中心対称性s は、 CのDへの正射影Oに関してです。
- Oを通過し、 Pに含まれる任意の線に関する軸対称。
- 回転r uと反転aの合成物。
明らかに、中心対称性と軸対称性は、説明した反転から構成されるように得られます。トーラスのアイソメトリのグループGは、 S 1とZ /2 Zの半直積によるZ /2 Zの直積と同型です。
- $$ {G=Z/2Z\times (R/2\pi Z\rtimes Z/2Z)} $$。
自然の同形体は次のように説明されます。
- r u は(0,u,0) に対応します。
- a は(1,0,0) に対応します。
- 任意の固定Q平面の場合、 b Q は(0,0,1) に対応します。
特に、 b r u ( Q ) = r u b Q r – u は(0,u,1) に対応します。 s は(1,π,0) に対応します。 …
アプリケーション
- 原子力研究では、トカマク型原子炉では、プラズマが円環状のチャンバー内の強力な磁場に閉じ込められます。これらの原子炉の 1 つは、 Tore Supraという名前も付けられています。これは粒子加速器、シンクロトロンの形態でもあります。
- 電気において、変圧器巻線の理想的な形状はトロイドの形状です。
n次元トーラス
トポロジーでは、トーラスという用語は、微分同相写像までの明確に定義された位相空間を指すために予約されています。いくつかのプレゼンテーションがありますが、すべて同等です。通常、数学文献に記載されている次元nのトーラスを、次のように定義される同型写像までの固有の位相空間と呼びます。
- 円のnコピーのデカルト積。
- R nのZ nによる商;
- より一般的には、ネットワークによる有限次元nの実ベクトル空間の商 (ここでは、最大離散加法部分群)。
n次元トーラスは、次元nのコンパクトで接続された位相多様体です。実ベクトル空間の商として得られるT n は、微分多様体(次元nのコンパクトで連結されたもの) です。対応する最大アトラスはネットワークにもベクトル空間にも依存しません。
E がn次元のユークリッド ベクトル空間であり、 GがEのネットワークである場合、商T n = E / Gは当然、それ自体を平坦多様体として表します。
T nの基本群は、 n 個の生成子を持つ自由アーベル群、つまりZ nです。
n次元トーラスは、独特のコンパクトなアーベルリー群です。最大トーラス (最大コンパクト アーベル リー サブグループ) の導入は、コンパクト リー群の研究において非常に重要です。