アクセスできない枢機卿 – 定義

導入

数学、より正確には集合論において、アクセスできない基数とは、ZFC 公理を使用してより小さな基数から構築できない基数のことです。この特性により、アクセスできない基数が優れた基数になります。

定義

まず、基数が次の形式の場合に極限であると言われることを思い出してください。

, ここで、α は制限序数です (そうでない場合は、 の後継者です ) ;一方、次の意味でα がfの極限となるように、αにβの厳密に増加する写像f が存在する場合、順序αはより低い順序βと共終的であると言います。 ;次に、厳密に小さい基数と一致しない場合、その基数は正則であり、そうでない場合は単数であると言います。後任の枢機卿は全員正規である。 も定期的です（ただし、たとえば、 は可算数列の極限であるため、単数です。 ）。そして最終的に枢機卿はこう言います 、可算ではありませんが、制限されており規則的である場合は、弱くアクセスできません。また、条件も満たす場合は、強くアクセス不能(または単にアクセス不能) であることを示します。 。連続性の一般化された仮説を受け入れると、2 つの概念が融合します。弱アクセス不可能な順序数であるための特徴的な条件は、正規であること、および正規の順序数の限界であることです。

グロタンディークの宇宙の公理

多くの大きな基本公理は、「プロパティPを持つ適切な基数クラスが存在する」という形式に一般化します。ここで、 Pは大きな基本プロパティです。これは、「すべての基数 α に対して、α<β かつP (β) となるような基数 β が存在する」と同等であることが簡単にわかります。したがって、アクセス不可能な場合、対応する公理は「すべての基数 μ に対して、μ < κ となるようなアクセスできない基数 κ が存在します」になります。前述の引数は、これが単一のアクセスできない基数の単純な存在よりもはるかに強力な公理であることを示しています。 ZFC を仮定すると、この公理はグロタンディークとヴェルディエの宇宙の公理と同等です。すべての集合はグロタンディークの宇宙に含まれます。つまり、会合と部分の集合に対する「安定した」集合に含まれます。 ZFCの公理と宇宙の公理から形成された理論はZFCU と呼ばれます。この公理系は特に圏論で役立ち、たとえば、任意の（小さな）圏に米田埋め込みがあることを示すことができます。ただし、この公理は (大きな基数公理としては) 比較的弱いままです。次のセクションの文言では、 ∞ は 1 にアクセスできないと言っていることになるからです。 ここで、 ∞ はVにない最小の序数を示します。つまり、選択したモデルVのすべての序数のクラスです。

パターンと一貫性

カージナルスはアクセスが非常に困難

ZF では、フォンノイマンの累積階層を構築します。V _α 、α は順序数であり、これはすべての十分に根拠のある集合、つまり基礎公理が存在するすべての集合の階層です。特に、 V _αには、厳密に α より小さいすべての序数が含まれます。

次に、ZF で、κ が (強く) アクセス不可能である場合 (以下では単にアクセス不可能とします)、 V _κへの制限されたメンバーシップを備えた集合V _κが ZF のモデルであることを示します。選択した公理を追加できます。ZFC では、 V _{κ が}ZFC のモデルであることを示します。置換公理スキームを実証するには、κ の規則性が必要です。

この結果から、ZFC (またはユニバース) のモデルUにはアクセスできない基数が含まれていないか、または含まれており、この場合は κ より小さい基数が含まれていると推測されます。 V _κに制限された宇宙Uの帰属を与えられたV _κ 、つまり ∈ _{V κ}が ZFC のモデルになります。したがって、ZFC のモデルとしての ( V _κ , ∈ _{V κ} ) の基数は、 V _κに属するUの基数、つまり厳密に κ より小さいUの基数です。 ( V _κ , ∈ _{V κ} ) 内のアクセスできない基数がUにおいてもアクセスできないこと、したがって ( V _κ , ∈ _{V κ} ) にはアクセスできない基数が含まれていないことを検証することも簡単です。したがって、次の結果になります。

定理。 — ZFC (基礎公理を伴う) では、一貫性があると思われますが、アクセスできない基数の存在を証明することはできません。つまり、ZFC 理論が一貫性がある場合、ZFC 理論 + 「アクセスできない基数などというものは存在しません」枢機卿」は一貫しています。

しかし、アクセスできない枢機卿の存在が単純に証明できないというよりも強力な結果が得られました。実際、アクセスできない基数の存在により、ZFC モデルの存在、つまりこの理論の一貫性を実証することが可能になります。ゲーデルの第 2不完全性定理を使用すると、前の定理をより間接的な方法で推定できるだけでなく、より正確な結果も得られます。したがって、ZFC + 「アクセスできない基数が存在する」理論では、ZFC では証明できない算術ステートメント (実証可能性を使用して表現された ZFC 理論の一貫性など) を実証します。逆に、ZFC に連続性の仮説を追加すると、これも ZFC では実証できませんが、ZFC と同じ算術ステートメントを実証できます。

また、第 2 不完全性定理から、理論 ZFC + 「アクセスできない基数が存在する」の一貫性は、理論 ZFC の一貫性の結果ではないことが推測されます。そうでなければ、理論 ZFC + 「ZFC は一貫性がある」がそれ自身の理論を示すことになるからです。一貫性。 ZFC+理論「アクセスできない枢機卿が存在する」は、この意味でZFC理論よりも「強力」です。

備考：

• ( V _κ , ∈ _{V κ} ) は、後で説明するモデルの観点からのアクセス不可能性の特徴付けから推定されるように、序数 κ がアクセス不可能な基数でなくても ZFC のモデルになることができます。
• κ がユニバースUのアクセスできない基数である場合、 ( V _κ , ∈ _{V κ} ) のクラスは、 Uにおいて、 V _κのパラメータを持つ式によって定義可能なV _κの部分であり、その量指定子はV _κに制限されます。したがって、これらの部分はすべて、フォン・ノイマン・ベルネイス・ゲーデルクラス理論のモデルです。
• 同様の理由で、 V _κ+1はモース-ケリー級理論のモデルです。したがって、この理論 (および前の理論の一貫性) は、ZFC + 理論「アクセスできない枢機卿が存在する」で実証されています。

枢機卿は弱くアクセスできない

弱くアクセスできない基数についても、アクセスできない基数の場合と本質的に同じ結果が得られます。つまり、弱くアクセスできない基数の存在は証明できず、ZFC + 「弱くアクセスできない基数は存在しない」の一貫性は、ZFC の一貫性から推定されます。 ZFC の一貫性は理論 ZFC + 「弱くアクセスできない基数が存在する」 で証明されるため、弱くアクセスできない基数の存在も証明できません (ZFC がコヒーレントである場合)。

ただし、実証が同じ方針に従う場合、それらは、別の構築のプロパティを確立するのがはるかに困難である、任意の序数 α に対して帰納的に定義され、ゲーデルが一貫性を実証するために使用した構築可能な集合の階層 (L _α ) に基づいています。連続体仮説だけでなく、一般化連続体仮説 (以下 HGC) と ZF に対する選択公理についても説明します。

L _αの階層の定義は、α サクセサーの V _αの定義とは異なります。L _α+1は、L _α内のパラメーターを持つ L _αの定義可能なサブセットのセットです。 L _αの (直観的な意味での) 和集合はクラス L であり、L へのメンバーシップ関係の制限が与えられ、ZF の任意のユニバースにおける ZFC + HGC のモデルを定義します。このようなモデルでは、HGC を満たすため、弱くアクセスできない基数はアクセスできません。 L が同じ序数を保持していること、および宇宙の弱くアクセスできない基数が、L によって定義されるサブユニバースに対して依然としてアクセスできないことを検証します。 κ が弱くアクセスできない基数である場合、L _{κ は}ZFC(+HGC) のモデルを定義します。

次に、前の段落と同じ方法で、段落の冒頭で発表された独立性の結果を推定します。