解析幾何学 – 定義

解析幾何学は、オブジェクトを方程式または不等式で表す幾何学へのアプローチです。平面または空間には必ず基準点が設けられる。

逆に、解析幾何学を使用すると、数学関数を曲線やグラフの形式で表現できます。したがって、これは物理学とコンピュータ グラフィックスの基本です。

歴史

幾何学的な解析

合成幾何学とは対照的に、分析幾何学という用語は、ギリシャの幾何学者によって実践された分析および合成の方法を指します。それは徐々に、その好まれている方法である座標方法と融合するようになりました。

ギリシャ数学では、分析は、探求するオブジェクトから開始し、その存在を仮定して、その特性を確立することから構成されます。オブジェクトを特徴付けるのに十分なプロパティが生成されるまで、このパスに沿って続行する必要があります。次に、存在の仮説を立てるのをやめ、特徴的な特性を通じてオブジェクトを実際に導入することによって、状況を逆転させることができます。これが合成段階であり、存在の証明につながる必要があります。

幾何学の進歩を制限している実際的な困難は、幾何量間の関係の記述に適応した形式主義が欠如していることです。 16^世紀末、フランソワ ヴィエットは、文字どおりの計算という貴重なツールを通じて、数値の計算と幾何学的な量の計算を統合しました。代数計算への還元の原理は確立されていますが、それを利用する体系的な方法はまだ見つかっていません。

コーディネート方法

ルネ・デカルトは、代数計算を体系的に使用して幾何学の問題を解決することを提案しました。彼は 1637 年の『幾何学』の中で原理を示しています。これには、既知の量と未知の量を文字で表し、問題に含まれる未知の量と同じだけ既知の量と未知の量の間の関係を見つけることが含まれます。私たちは、単一の方程式に還元する必要がある連立方程式につながる分析的アプローチを明確に認識しています。デカルトは、過剰決定または過小決定の場合の解釈を与えます。しかし、彼の操作は次数によって分類される代数方程式に限定されており、彼が機械的 (今日では超越的と呼ばれる) と表現する曲線には適用できません。

ピエール・ド・フェルマーは同時に、幾何学的位置の問題を解決するために座標自体を体系的に使用した最初の人でもありました。これには特に、直線、放物線、または双曲線の最初の方程式が含まれます。彼は、1636 年に彼の死後に出版されたテキスト、 『Ad locus planos et soldos isagoge』でこれらのアイデアを発表しました。

デカルトの表記法では、フェルマーとは異なり、定数は継続的にa 、 b 、 c 、 d 、 … で表され、変数x 、 y 、 z で表されます。この点で彼は当時の伝統に反対しており、現代の読者はそれほど混乱しないでしょう。

平面解析幾何学

アフィン平面には参照が提供されます

; x は点の横座標を示し、 y はこの点の縦座標を示します。

右

アフィン ライン (つまり、通常の意味でのライン、点の集合) は、2 つの未知数を含む 1 次方程式で表されます。

ax + by + c = 0 (1)

cがゼロの場合、線は原点Oを通過します。 2 本の線が平行な場合、それらの係数aとb は比例します。 bがゼロでない場合、この式は次のように書き換えることができます。

y = a’ x + b’

a’ = – a/b は先頭係数または直線の傾きと呼ばれ、 b’ = – c/b はy 切片(英語ではオフセットまたはインターセプト) と呼ばれます。 2 本の平行線は同じ傾きを持っています。この形式では、線が原点の縦座標とも呼ばれる点 (0, b ‘) を通過していることが簡単にわかります (したがって、この用語は点とこの点の縦座標の両方を指します)。 aがゼロの場合、水平線が表示されます。

y = b’

点 (0, b ‘) を通過します。 bがゼロの場合、垂直線が表示されます。

x = – c/a

点 (- c / a , 0) を通過します。

その方程式から線を引くには、2 つの点を知っておくだけで済みます。最も単純な方法は、軸との交点を取ることです。つまり、 x = 0 とy = 0 を連続的に考慮することです (線が軸に平行でない限り、その場合、描画は簡単です)。また、原点と「離れた」点 (つまり、紙に描かれた図形の端、たとえば 10 まで進む場合はx = 10 と考えます)、または 2 つの離れた点で縦座標を取ることもできます (図の各端に 1 つずつ)。実際、点が離れるほど、線の描画はより正確になります。

ベクトル線 (つまり、互いに比例する共線ベクトルのセット) は、 cがゼロの線方程式によって単純に表されます。

アウ₁₊ブ₂ =0

ここで、 u ₁とu _{2 は}ベクトルの成分です。アフィンまたはベクトル線の場合、コンポーネントのベクトルは次のように推定されます。

$$ {\vec{u} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}} $$

は右方向のベクトルです。座標系が正規直交の場合、スカラー積の特性に従って、ベクトルは

$$ {\vec{N} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}} $$

は右方向の法線ベクトルです。

どのような座標系であっても、 A ( x _A , y _A ) が直線上の点である場合、

方向ベクトルの場合、線上の任意の点M ( x _M , y _M ) に対して、次のようになります。

$$ {\overrightarrow{AM} = k \cdot \vec{u},\ k \in \mathbb{R}} $$

以来

～と同一線上にあります 。これにより、次の直線のパラメトリック方程式が得られます。

$$ {\left\{\begin{matrix} (x_M – x_A) = k \cdot u_1 \\ (y_M – y_A) = k \cdot u_2 \end{matrix}\right.} $$

書けるもの

$$ {\left\{\begin{matrix} x_M = u_1 \cdot k + x_A \\ y_M = u_2 \cdot k + y_A \end{matrix}\right.} $$

(2)

パラメータk を削除すると、(1) の形式の方程式が得られます。

ポイント

点は、2 つの未知数を含む 2 つの 1 次方程式の系で表されます。

$$ {\left\{\begin{matrix} x = a \\ y = b \end{matrix}\right.} $$

これは論理的です。点は 2 本の非平行な線の交点であり、その座標は 2 本の線の方程式を検証する必要があります。この方程式系を縮小すると、上記の形が得られます。これは明らかに点 ( a , b ) の表現です。

半平面

半平面は、2 つの未知数を含む 1 次不等式で表されます。

ax + by + cz > 0

> 記号を = 記号に置き換えると、半平面を区切る線の方程式が得られます。符号 > を符号 < に置き換えると (または係数の符号を反転すると)、相補的な半平面が得られます。

半分右

半直線は方程式と不等式によって特徴付けられます

$$ {\left\{\begin{matrix} ax + by + c = 0 \\ a’x + b’y + cz width=} $$

0 \end{行列}\right.” >

少なくともa ≠ a’またはb ≠ b’である必要があります。半線は、実際には、線と、最初の線に平行ではない線で区切られた半面との交点です。 「>」記号を「=」記号に置き換えることによって得られるシステムの解像度は、半線の終点の座標、つまり半線の点Aの座標 [ AB ] を与えます。 ‘がゼロ以外の場合、次のタイプのシステムに還元できます。

$$ {\left\{\begin{matrix} ax + by + c = 0 \\ x width=} $$

d \end{行列}\right。 \ \mathrm{ou} \ \left\{\begin{行列} ax + by + c = 0 \\ x < d \end{行列}\right.” >

(相補的な半線を表す 2 つのシステム)、それ以外の場合は次のタイプのシステムに

$$ {\left\{\begin{matrix} ax + by + c = 0 \\ y width=} $$

d \end{行列}\right。 \ \mathrm{ou} \ \left\{\begin{行列} ax + by + c = 0 \\ y < d \end{行列}\right.” >

パラメトリック方程式の場合、条件k > 0 またはk < 0 を追加すると、これは方程式 (2) に戻ります。

サークルとディスク

中心A 、半径rの円は、 Aから距離rの位置にある点の集合です。したがって、その方程式は次のようになります。

₍ x ⁻ xA ) ₂ + ( y ⁻ yA ) ² = r2

これは次のように書くことができます:

$$ {y = y_A + \sqrt{r^2 – (x-x_A)^2},\ x \in [x_A-r,x_A+r]} $$

この形式は「円のデカルト方程式」と呼ばれます。そのパラメトリック方程式は次のとおりです。

$$ {\left\{\begin{matrix} x = x_A + r \cdot \cos \theta \\ y = y_A + r \cdot \sin \theta \end{matrix}\right.} $$

ここで、θ は幅2π の間隔にわたって取得できる実数です。通常は [-π,π] または [0,2π[] を使用します。ディスク方程式は、「等号」記号を「以下」記号に置き換えることによって得られます。

空間における解析幾何学

アフィン空間は参照とともに提供されます

; x は点の横座標、 y は縦座標、 z は寸法を示します。

プラン

アフィン平面 (つまり、幾何学の通常の意味での点で構成される平面) は、3 つの未知数を含む 1 次方程式で表されます。

ax + by + cz + d = 0 (3)

2 つの平面が互いに平行な場合、それらの係数a 、 bおよびc は比例します。 dがゼロの場合、平面はOを通過します。 cがゼロ以外の場合、方程式は次のように書くことができます。

z = a’ x + b’ y + c’

a’ = – a/c 、 b’ = – b/cおよびc’ = – d/cです。それがゼロの場合、垂直面が存在します。

ベクトル平面 (つまり、同一平面上にあるベクトルのセット) は、次の方程式で表されます。

アウ₁ +ブ₂ +ク₃ = 0

ここで、 u ₁ 、 u _{2 、}およびu _{3 は}ベクトルの成分です。次のベクトルはベクトル平面のベクトルであり、平面の方程式の少なくとも 2 つの係数がゼロ以外の場合、これらのベクトルのうちの 2 つが平面の基底を形成します。

$$ {\vec{u} = \begin{pmatrix} – b \\ a \\ 0 \end{pmatrix}} $$

$$ {\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ – c \\ b \end{pmatrix}} $$

$$ {\vec{w} = \begin{pmatrix} – c \\ 0 \\ a \end{pmatrix}} $$

(得られた基底は先験的正規直交ではありません)。これらのベクトルは、アフィン平面のベクトルも形成します。アフィン平面の方程式は、ベクトル平面の方程式と同じ係数a 、 b 、およびc を持ちます。

係数のうち 2 つがゼロの場合、方程式は次の 3 つの形式のいずれかになります。

u ₁ = 0、ベクトル平面を表します。

$$ {(\vec{j},\vec{k})} $$

;

u ₂ = 0、ベクトル平面を表します。

$$ {(\vec{i},\vec{k})} $$

;

u ₃ = 0、ベクトル平面を表します。

$$ {(\vec{i},\vec{j})} $$

。

同じく、

ax + d = 0 は、以下に平行なアフィン平面を表します。

$$ {(\vec{j},\vec{k})} $$

、その方程式はx = – d/aと書くことができます。

by + d = 0 は、に平行なアフィン平面を表します。

$$ {(\vec{i},\vec{k})} $$

、その方程式はy = – d/bと書くことができます。

cz + d = 0 は、以下に平行なアフィン平面を表します。

$$ {(\vec{i},\vec{j})} $$

、その方程式はz = – d/cと書くことができます。

すべての場合において、空間参照が正規直交であれば、ベクトルは

$$ {\vec{N} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}} $$

は平面に垂直なベクトルです

基準座標系が何であっても、平面が点A ( x _A 、 y _A 、 z _A ) を通過し、任意の基底が提供されている場合

とすると、任意の点M ( x _M , y _M , z _M ) について、次のようになります。

$$ {\overrightarrow{AM} = k \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v},\ (k,t) \in \mathbb{R}^2} $$

以来

、 そしては同一平面上にあります。これはパラメトリック方程式につながります

$$ {\left\{\begin{matrix} (x_M – x_A) = k \cdot u_1 + t \cdot v_1 \\ (y_M – y_A) = k \cdot u_2 + t \cdot v_2 \\ (z_M – z_A) = k \cdot u_3 + t \cdot v_3 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_M = u_1 \cdot k + v_1 \cdot t + x_A \\ y_M = u_2 \cdot k + v_2 \cdot t + y_A \\ z_M = u_3 \cdot k + v_3 \cdot t + z_A \end{matrix} \right.} $$

(4)

右

線は 2 つの非平行な平面の交点であり、3 つの未知数を含む 2 つの 1 次方程式の系によって記述されます。

$$ {\left\{\begin{matrix} ax + by + cz + d = 0 \\ a’x + b’y + c’z + d’ = 0 \end{matrix}\right.} $$

(5)

この線は両方の平面に含まれるため、法線ベクトルに直交します。

そして 2つのプランのうち。ベクトル積したがって、法線ベクトルは線の方向ベクトルを提供します。座標系が直接直交である場合、ベクトルはには次のコンポーネントがあります。

さらに、点A ( x _A 、 y _A 、 z _A ) と方向ベクトルがわかっているとします。

M ( x _M , y _M , z _M ) が線上の点である場合、次のことが検証されます。

$$ {\overrightarrow{AM} = k \cdot \vec{u},\ k \in \mathbb{R}} $$

以来

そして同一線上にあります。したがって、パラメトリック方程式が得られます。

$$ {\left\{\begin{matrix} x_M = u_1 \cdot k + x_A \\ y_M = u_2 \cdot k + y_A \\ z_M = u_3 \cdot k + z_A \end{matrix}\right.} $$

(6)

ポイント

点は、3 つの未知数を含む 3 つの 1 次方程式の系によって記述されます。

$$ {\left\{\begin{matrix} x = a \\ y = b \\ z = c \end{matrix} \right.} $$

点は 3 つの同時平面の交点であり、その座標は 3 つの方程式を満たさなければなりません。このシステムを縮小すると、上記の形が得られます。もちろん、この連立方程式は点 ( a , b , c ) を表します。