集合の部分の代数 – 定義

導入

この記事では、セットとそのプロパティに対する演算の最初のアプローチ (和集合、交差、差分、補数、対称差分など) について説明します。

ミーティング

意味

すべての集合Aとすべての集合Bについて、要素がAとBの要素である集合U が存在します (この命題は素朴集合理論の暗黙の公理であり、集合理論では、対の公理と次の公理から次のようになります)。会議）。記号表記では次のようになります。

$$ {\exists\ U,~\forall x,~(x\in U)\Leftrightarrow[(x\in A)\lor(x\in B)]~.} $$

集合Uの一意性は拡張性の公理によって保証されます。これを「 A U B 」（「 A Union B 」と読みます）と記し、 AとBの和集合と呼びます。

$$ {A\cup B=\{x~|~(x\in A)\lor(x\in B)\}~.} $$

プロパティ

すべてのセットA 、 B 、 C 、 Dについて、次のプロパティがあります。

• U1 (可換性): 2 つのセットの和集合は、これら 2 つのセットが取得される順序に依存しません。

$$ {A\cup B=B\cup A~,} $$

• U2 (中立 Ø):空のセットと任意のセットの結合により、このセットが返されます。

$$ {A\cup\varnothing=A~,} $$

• U3 (べき等): 任意のセットとそれ自体の結合により、このセットが復元されます。

$$ {A\cup A=A~,} $$

• U4: 任意のセットは、他の任意のセットとの結合に含まれます。

$$ {A \subseteq A\cup B~,} $$

• U5: セットAは、それらの和集合がBに等しい場合にのみ、セットBに含まれます。

$$ {(A\subseteq B)\Leftrightarrow(A\cup B=B)~,} $$

• U6: 2 つのセットの和集合が空の場合、両方とも空です。

$$ {[A\cup B=\varnothing]\Rightarrow[(A=\varnothing )\land(B=\varnothing)]~,} $$

• U7 (包含との互換性): 2 つのサブセットの会合は、それらがサブセットである 2 つのセットの会合に含まれます。

$$ {[(A\subseteq B)\land(C\subseteq D)]\Rightarrow[(A\cup C)\subseteq(B\cup D)]~,} $$

• U8 (結合性): 複数のセットを結合した結果は、結合操作が実行される順序に依存しません。

$$ {(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)=A\cup B\cup C~.} $$

違い

意味

すべての集合Aとすべての集合Bに対して、 Bに属さないAの要素を要素とする集合D が存在します (この命題は素朴集合理論の暗黙の公理であり、公理の集合理論では以下のようになります)理解の図）。記号表記では次のようになります。

$$ {\exist D,~\forall x,~(x\in D)\Leftrightarrow[(x\in A)\land(x\notin B)]~.} $$

集合Dの一意性は拡張性の公理によって保証されます。これを「 A \ B 」（「 AマイナスB 」と読みます）と表し、それをAとBの差と呼びます。

$$ {A\setminus B=\{x~|~(x\in A)\land(x\notin B)\}~.} $$

2 つのセットAとB の間で「差を付ける」ことは、AからB を「引く」とも呼ばれます。

プロパティ

すべてのセットA 、 B 、 Cについて、次のプロパティがあります。

• D1 (右側のニュートラル Ø): セットから空のセットを減算すると、このセットが返されます。

$$ {A\setminus\varnothing=A~,} $$

• D2 (左側の吸収材 Ø): 空のセットからセットを引くと、空のセットが得られます。

$$ {\varnothing\setminus B=\varnothing~,} $$

• D3 (involutivity): セットをそれ自体から減算すると、空のセットが得られます。

$$ {A\setminus A=\varnothing~,} $$

• D4 (D2 と D3 の一般化): セットからスーパーセットを減算すると空のセットが得られます。つまり、すべてのAとすべてのBについて、 A がBに含まれる場合に限り、 AとBの差は空になります。 :

$$ {(A\setminus B=\varnothing)\Leftrightarrow(A\subseteq B)~,} $$

• D5: 両方のセットが空の場合に限り、一方のセットをもう一方のセットから減算すると、このセットが返されます。

$$ { [A\setminus B=B]\Leftrightarrow[(A=\varnothing)\land(B=\varnothing)]~,} $$

• D6: 差異に関係する 2 つのセットは、それらが等しい場合にのみ、結果を変更せずに交換可能です。

$$ {(A\setminus B=B\setminus A)\Leftrightarrow(A=B)~,} $$

• D7 (D1 と D2 の一般化): 2 つのセットが互いに素である場合に限り、セットAからセットB を減算するとAが返されます。

$$ {(A\setminus B=A)\Leftrightarrow(A\cap B=\varnothing)~,} $$

• D8 (D2 の逆数): Aが空の場合に限り、セットAからセットB を減算すると、それらの共通部分が得られます。

$$ {(A\setminus B=A\cap B)\Leftrightarrow (A=\varnothing)~,} $$

• D9 (D1 の逆数): Bが空の場合にのみ、セットAからセットB を減算すると、それらの和集合が得られます。

$$ {(A\setminus B=A\cup B)\Leftrightarrow(B=\varnothing)~,} $$

• D10: セットAからセットB を減算すると、結果はAのサブセットになります。

$$ {A\setminus B\subseteq A~,} $$

• D11 (それ自体に対する差の交点における右側の擬似分布): セットAから 2 つのセットBとC を連続的に減算すると、 AとBの差、およびAとdecの差の交点を求めることになります。

$$ {(A\setminus B)\setminus C=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)~,} $$

• D12: セットAから 2 つのセットBとCの差を引くことは、 AとBの差の和集合とAとCの積を求めることになります。

$$ {A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup(A\cap C)~,} $$

• D13: 2 つのセットAとBの差を持つセットC をまとめると、 AとCの和集合からBとCの差を引くことになります。

$$ {(A\setminus B)\cup C=(A\cup C)\setminus(B\setminus C)~,} $$

• D14: 2 つのセットAとBの交差からセットC を引くことは、 AとBとCの差との交差を求めることになります。

$$ {(A\cap B)\setminus C=A\cap(B\setminus C)~,} $$

• D15 (交差に関する差の右側の分布): 2 つのセットAおよびBの交差からセットC を減算すると、これらの各セットの差とCの交差を求めることになります。

$$ {(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap(B\setminus C)~,} $$

• D16 (和集合に関する差の右側の分配): 2 つの集合AおよびBの和集合から集合C を減算すると、これらの各集合の差とCの和集合をとることになります。

$$ {(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C)~,} $$

• D17 (交差に関する差の和集合における左辺の擬似分布): 集合Aから 2 つの集合BとCの集合を減算することは、 Aと各集合Bの差の和をとることに相当します。 :

$$ {A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C)~,} $$

• D18 (和集合に対する差の積の左側の擬似分布): 集合Aから 2 つの集合BおよびCの和集合を引くことは、集合Aと集合Bおよび集合 C のそれぞれとの差の積を求めることになります。子：

$$ {A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)~.} $$

この最後の特性は、実際には前の特性から推定できます。 D14 と D15、D12 と D17 を組み合わせることができます。

補完的

定義

任意の集合Aと任意の集合Bについて、 BがAに含まれている場合、 A \ Bは「 A – B 」 (もう一度「 AマイナスB 」と読みます) とも表記され、 AにおけるBの相対補数と呼ばれます。

$$ {A\setminus B=A-B=\complement_AB=\{x\in A~|~x\notin B\}~.} $$

集合C = A – B は​​次のように特徴付けられます。

$$ {(B\cup C=A)\land(B\cap C=\varnothing)~,} $$

そして、2 つのセットBとC は、 Aにおいて互いに補完的であると言われます。

Ω が固定参照セットを指定し、 A が含まれるセットΩ を指定する場合、 Ω – A はAの絶対補数を指定します。普通に注目されるのは

$$ {\overline A=\Omega-A=\{x\in \Omega~|~x\notin A\}~.} $$

プロパティ

任意の集合ΩとΩのすべてのサブセットAおよびBについて、次の 4 つのプロパティがあります。

$$ {\overline{\overline A}=A~,} $$

$$ {A\setminus B=A\cap\overline B~,} $$

$$ {\overline{A\setminus B}=\overline A\cup B~,} $$

$$ {(A\subseteq B)\Leftrightarrow(\overline B\subseteq\overline A)~.} $$