意味
数学では、2 つの空でない集合E 、 Fおよびマップが与えられたとします。
$$ {\ f : E \to F} $$
、次のようなFの要素yの先行詞( fによる) をEの任意の要素xと呼びます。 $$ {\ f (x) = y} $$
。$$ {\ f^{-1}(\{y\})} $$
。
例
- 機能させましょう$$ {\ f : \R \to \R,\, x \mapsto x^2} $$そして本物があります。
- y > 0 の場合、 y は2 つの先行詞を受け入れます。 $$ {\ \sqrt{y}} $$そして$$ {\ -\sqrt{y}} $$
- y = 0 の場合、 y は0 という単一の先行詞を受け入れます。
- y < 0 の場合、 y は先行詞を認めません
- E を空でない集合とし、アプリケーションを$$ {\ f : E \to \mathcal{P}(E)} $$、 または$$ {\ \mathcal{P}(E)} $$はEの部分の集合を指定します。私たちは定義します$$ {\ Y = \{x \in E\, /\, x \notin f(x)\}} $$: Y はEの一部、つまりセットの要素です$$ {\ \mathcal{P}(E)} $$。
- この要素はfによる先行詞を認めません。確かに、そのような前例があると仮定してください$$ {\ x_0 \in E} $$存在します。したがって、私たちは$$ {\ f (x_0) = Y} $$。
- 次の 2 つのケースが考えられます。
- $$ {\ x_0 \in Y} $$、つまり ( Yの定義により)$$ {\ x_0 \notin f(x_0)} $$、 または$$ {\ x_0 \notin Y} $$
- $$ {\ x_0 \notin Y} $$、つまり ( Yの定義により)$$ {\ x_0 \in f(x_0)} $$、 または$$ {\ x_0 \in Y} $$
アプリによるセットのイメージ
アプリケーションになる
$$ {\ f : E \to F} $$
AはEのサブセットです。 fによるAのイメージを、 Aに属する少なくとも 1 つの先行詞を認めるFの要素yの集合と呼びます。私たちはそれに注意します$$ {\ f (A)} $$
: - $$ {\ f (A) = \{y \in F\,/\, \exists\, x \in A, y = f(x)\}} $$。
特に、 fによるEのイメージ ( fのイメージと呼ばれます) は、少なくとも 1 つの先行詞を許容するFの要素yのセットです。
- $$ {\ f (E) = \{y \in F\,/\, \exists\, x \in E, y = f(x)\}} $$。
射出、全射、全射
どちらかのアプリケーション
$$ {\ f : E \to F} $$
。- Fのすべての要素が先行詞を 1 つしか認めない場合、 fは単射である、またはそれは射出であると言います。
- Fのすべての要素が少なくとも 1 つの先行詞を許容する場合、つまり、次の場合、 f は全射である、または全射であると言います。
- $$ {\ f (E) = F} $$。
- fが全単射である、またはFのすべての要素が先行詞を 1 つだけ許容し、先行詞を 1 つだけ許容する場合、つまりf が単射と全射の両方である場合、 f は全単射であると言います。
- この場合、アプリケーションを定義できます。 $$ {\ f^{-1} : F \to E, y \mapsto x} $$ここで、 x はfによるyの一意の先行詞です。これはfの逆数と呼ばれる全単射でもあります。
(上記の例は、全射適用がないことを示しています
$$ {\ f : E \to \mathcal{P}(E)} $$
）。